Desigualdad de Hadamard

En matemáticas, la desigualdad de Hadamard (también conocida como teorema de Hadamard sobre los determinantes^[1]​) es un resultado publicado por primera vez por Jacques Hadamard en 1893.^[2]​ Es una cota del determinante de una matriz cuyas entradas son números complejos en términos de las longitudes de sus vectores columna. En términos geométricos, cuando se restringe a números reales, limita el volumen en el espacio euclídeo de n dimensiones marcadas por n vectores v_i para 1 ≤ i ≤ n en términos de las longitudes de estos vectores ||v_i ||.

Específicamente, la desigualdad de Hadamard establece que si N es la matriz que tiene columnas^[3]​ V_i, entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Si los n vectores son distintos de cero, la igualdad en la desigualdad de Hadamard se logra si la bicondicional de los vectores son ortogonales.

Formas alternativas y corolarios

Un corolario es que si las entradas de una matriz N de n por n están acotadas por B, entonces |N_ij | ≤ B para todo i y j, entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

En particular, si las entradas de N son +1 y −1 solamente, entonces^[4]​

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.}$

En combinatoria, las matrices N para las cuales se cumple la igualdad, es decir, aquellas con columnas ortogonales, se denominan matrices de Hadamard.

De manera más general, supongamos que N es una matriz compleja de orden n, cuyas entradas están acotadas por |N_ij | ≤ 1, para cada i, j entre 1 y n. Entonces la desigualdad de Hadamard establece que

${\displaystyle |\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.}$

La igualdad en este límite se logra para una matriz real N si la bicondicional N es una matriz de Hadamard.

Una matriz P semidefinida positiva se puede escribir como N^*N, donde N^* denota la matriz transpuesta conjugada de N (ver Descomposición de una matriz semidefinida). Entonces

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.}$

Entonces, el determinante de una matriz definida positiva es menor o igual al producto de sus entradas diagonales. A veces esto también se conoce como desigualdad de Hadamard.^[2]​^[5]​

Prueba

El resultado es trivial si la matriz N es singular, así que supongamos que las columnas de N son linealmente independientes. Al dividir cada columna por su longitud, se puede ver que el resultado es equivalente al caso especial donde cada columna tiene longitud 1, es decir, si e_i son vectores unitarios y M es la matriz que tiene a e_i como columnas entonces

${\displaystyle \left|\det M\right|\leq 1,}$

(1)

y la igualdad se logra si y sólo si los vectores son un conjunto ortogonal. El resultado general ahora es el siguiente:

${\displaystyle \left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Para probar (1), considere P = M^*M y sean los valores propios de P λ₁, λ₂, … λ_n. Dado que la longitud de cada columna de M es 1, cada entrada en la diagonal de P es 1, por lo que la traza de P es n. Aplicando la desigualdad de medias aritméticas y geométricas,

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,}$

entonces

${\displaystyle \left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.}$

Si hay igualdad, entonces cada uno de los λ_i debe ser igual y su suma es n, por lo que todos deben ser 1. La matriz P es hermitiana, por lo tanto diagonalizable, por lo que es la matriz identidad; en otras palabras, las columnas de M son un conjunto ortonormal y las columnas de N son un conjunto ortogonal.^[6]​ Se pueden encontrar muchas otras pruebas en la literatura.

Véase también

• Desigualdad de Fisher

Notas

1. «Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Consultado el 15 de junio de 2020. 
2. Maz'ya & Shaposhnikova
3. The result is sometimes stated in terms of row vectors. That this is equivalent is seen by applying the transpose.
4. Garling
5. Różański, Michał; Wituła, Roman; Hetmaniok, Edyta (2017). «More subtle versions of the Hadamard inequality». Linear Algebra and Its Applications 532: 500-511. doi:10.1016/j.laa.2017.07.003. 
6. Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova.

Referencias

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, T. O. (1999). Jacques Hadamard: A Universal Mathematician. AMS. pp. 383ff. ISBN 0-8218-1923-2. 
• Garling, D. J. H. (2007). Inequalities: A Journey into Linear Analysis. Cambridge. p. 233. ISBN 978-0-521-69973-0. 
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Functional Analysis. Dover. p. 176. ISBN 0-486-66289-6. 
• Weisstein, Eric W. «Hadamard's Inequality». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Bibliografía

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Inequalities. Springer. p. 64.