Desigualdad de Hölder

En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios L^p.

Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre  S, se tiene que

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg ||₁ es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en L^p(μ) y g está en L^q(μ), entonces fg está en L¹(μ).

Para 1 < p, q < ∞, f ∈ L^p(μ) y g ∈ L^q(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |^p y |g |^q son linealmente dependientes en L¹(μ), lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f |^p = β |g |^q μ-casi en todas partes.

La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio L^p(μ), y también para establecer que L^q(μ) es el espacio dual de L^p(μ) para 1 ≤ p < ∞.

La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente por Hölder (1889).

Véase también

• Desigualdad de Opial

Referencias

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. (1934), Inequalities, Cambridge University Press, ISBN 0521358809 .
• Hölder, O. (1889), «Ueber einen Mittelwerthsatz», Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, Band 1889 (2): 38-47, archivado desde el original el 18 de febrero de 2007, consultado el 24 de julio de 2010 . (en alemán). Disponible en Digi Zeitschriften.
• Kuptsov, L.P. (2001), «H%C3%B6lder_inequality&oldid=23328», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Rogers, L J. (1888), «An extension of a certain theorem in inequalities», Messenger of Mathematics 17: 145-150 ..
• Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra, Online e-book en formato PDF, Brigham Young University .

• Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book en formato PDF .