Desigualdad de Shapiro

En matemáticas, la desigualdad de Shapiro es una desigualdad que fue descubierta por H. Shapiro y Vladímir Drínfeld.

Enunciado

Sea n un número natural y ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ números positivos y: n es par y menor o igual que 12, o bien n es impar y menor o igual que 23. Entonces, la desigualdad de Shapiro enuncia que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$ donde ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$.

Para valores mayores de n no se cumple la desigualdad y la cota inferior estricta es ${\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}$ con ${\displaystyle \gamma \approx 0.9891...}$.

Este resultado fue mostrado por Vladímir Drínfeld, que ganó una Medalla Fields en 1990. Drínfeld demostró específicamente que la cota inferior estricta γ viene dada por ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\psi (0)}$, donde ψ es la envoltura convexa de f(x) = e^−x y ${\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}}$

Véase también

• Desigualdad de Nesbitt, caso especial de la Desigualdad de Shapiro

Enlaces externos

• PlanetMath (en inglés)