Divisor unitario

En matemática, un número natural a es un divisor unitario de un número b si a es un divisor de b y si a y ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ son coprimos, no teniendo un factor común diferente de 1. Así, 5 es un divisor unitario de 60, puesto que 5 y ${\displaystyle {\tfrac {60}{5}}=12}$ tienen únicamente 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor, pero no un divisor unitario de 60, dado que 6 y ${\displaystyle {\tfrac {60}{6}}=10}$ tienen un factor común distinto de 1, que es 2. 1 es un divisor unitario de cualquier número natural.

Equivalentemente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si todo factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a como esta la tiene en b.

La función suma de divisores unitarios se denota mediante la letra minúscula griega sigma, así: σ*(n). La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ*_k(n):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\mid n \atop \operatorname {mcd} (d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Se denomina número perfecto unitario a la suma de todos los divisorios unitarios propios de un número natural compuesto.^[1]​

Propiedades

El número de divisores unitarios de un número n es 2^k, donde k es el número de factores primos distintos de n. La suma de divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluyendo 1), y par de cualquier otra forma.

Ambas, cantidad y suma de divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

Divisores unitarios impares

La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios impares es

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \operatorname {mcd} (d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Esta también es multiplicativa, con una función generadora de Dirichlet

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

Divisores bi-unitarios

Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el máximo común divisor de d y n/d es 1. El número de divisores bi-unitarios de n es una función multiplicativa de n con orden medio ${\displaystyle A\log x}$, donde^[2]​

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}$

Un número perfecto bi-unitario es aquel igual a la suma de sus divisores propios bi-unitarios. Los únicos números así son 6, 60 y 90.^[3]​

Referencias y notas

1. Para que un numeral natural tenga divisor unitario tiene que ser compuesto
2. Ivić (1985) p.395
3. Sandor et al (2006) p.115

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. p. 84. ISBN 0-387-20860-7.  Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0. 
• Cohen, Eckford (1959). «A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion». Pacific J. Math. 9 (1). pp. 13—23. MR 0109806. 
• Cohen, Eckford (1960). «Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer». Mathematische Zeitschrift 74. pp. 66—80. MR 0112861. doi:10.1007/BF01180473. 
• Cohen, Eckford (1960). «The number of unitary divisors of an integer». American mathematical monthly 67 (9). pp. 879—880. MR 0122790. 
• Cohen, Graeme L. (1990). «On an integers' infinitary divisors». Math. Comp. 54 (189). pp. 395—411. MR 0993927. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. 
• Cohen, Graeme L. (1993). «Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer». Intl. J. Math. Math. Sci. 16 (2). pp. 373—383. doi:10.1155/S0161171293000456. 
• Finch, Steven (2004). «Unitarism and Infinitarism». Archivado desde el original el 21 de julio de 2011. 
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. p. 395. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Unitary Divisor». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Sucesiones OEIS

A034444 es σ₀(n)   A034448 es σ₁(n)   A034676 a A034682 son σ₂(n) a σ₈(n)   A068068 es σ^(o)*₀(n)   A192066 es σ^(o)*₁(n)