Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación

Considerando la figura podemos escribir:

(1)${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma }$

(2)${\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma }$

con ${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta -\pi /2}$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: ${\displaystyle r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta }$. De aquí se tiene que ${\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha }$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: ${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}$

${\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}$

Casos particulares

Cuando ${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}}$ es un número racional, i.e., ${\displaystyle k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, ${\displaystyle k=1}$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, ${\displaystyle k=2}$ obtenemos una nefroide.

Ejemplos

• ejemplos de epicicloides
• 
  k=1
• 
  k=2
• 
  k=3
• 
  k=4
• 
  k=2,1=21/10
• 
  k=3,8=19/5
• 
  k=5,5=11/2
• 
  k=7,2=36/5

Curvas cíclicas

Curva cíclica

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a al directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

• Ruleta
• Curva Cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias en la Web

• Epicicloides, en Descartes
• Epicicloides, en cfnavarra