La función rampa es una función elemental real de un solo argumento, continua y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto .
Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería (procesamiento digital de señales , plasticidad , etc.). El término "función rampa" se debe a la forma de su representación gráfica.
La función rampa (denotada de diferentes maneras en la literatura científica:
rampa
(
⋅
)
,
R
(
⋅
)
,
⟨
⋅
⟩
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(\cdot ),R(\cdot ),\langle \cdot \rangle }
Y que se define de esta forma:
rampa
:
R
→
R
x
→
y
=
rampa
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\mbox{rampa}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\to &y={\mbox{rampa}}(x)\end{array}}}
Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:
rampa
(
x
)
:=
{
0
x
<
0
x
x
≥
0
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):={\begin{cases}0&x<0\\x&x\geq 0\end{cases}}}
rampa
(
x
)
:=
x
+
|
x
|
2
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):={\frac {x+|x|}{2}}}
función valor absoluto )
rampa
(
x
)
:=
max
(
x
,
0
)
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=\max(x,0)\,}
función máximo )
rampa
(
x
)
:=
x
H
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=xH(x)\,}
función unitaria de Heaviside )Algunas formas menos elementales de definirla son:
rampa
(
x
)
:=
∫
−
∞
x
H
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }
primitiva de la función unitaria de Heaviside)
rampa
(
x
)
:=
H
(
x
)
∗
H
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}
convolución )[ editar ] En todo su dominio de definición , la función rampa es no-negativa (positiva o cero)
∀
x
∈
R
:
rampa
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :{\mbox{rampa}}(x)\geq 0}
y, por tanto, coincide con su valor absoluto:
|
ramp
(
x
)
|
=
rampa
(
x
)
{\displaystyle \left|{\mbox{ramp}}(x)\right|={\mbox{rampa}}(x)}
Su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones ) es la función unitaria de Heaviside :
rampa
′
(
x
)
=
H
(
x
)
=
s
g
n
(
x
)
+
1
2
{\displaystyle {\mbox{rampa}}'(x)=H(x)={\frac {\mathrm {sgn} (x)+1}{2}}\,}
A su vez la función unitaria de Heaviside puede escribirse en términos de la función signo (las igualdades anteriores son ciertas en el sentido de las distribuciones ).
La función rampa es una función convexa ya que:
(*
rampa
(
t
x
+
(
1
−
t
)
y
)
≤
t
rampa
(
x
)
+
(
1
−
t
)
rampa
(
y
)
.
{\displaystyle {\text{rampa}}(tx+(1-t)y)\leq t\ {\text{rampa}}(x)+(1-t){\text{rampa}}(y).}
para cada t en [0,1]. Esto puede demostrarse procediendo por casos, es decir, se consideran los casos (a) x > 0 e y > 0, (b) x > 0 e y ≤ 0, (c) x ≤ 0 e y > 0 y (d) x ≤ 0 e y ≤ 0. En los casos (a) y (d) se cumple la igualdad en (* t en (0,1), mientras que en los casos (b) y (c) se tiene una desigualdad estricta (ya que t y (1 - t ) son siempre números positivos.
La transformada de Fourier de la función rampa viene dada por:
F
{
rampa
(
x
)
}
(
f
)
:=
∫
−
∞
∞
rampa
(
x
)
e
−
2
π
i
f
x
d
x
=
i
δ
′
(
f
)
4
π
−
1
4
π
2
f
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\mbox{rampa}}(x)\right\}(f):=\int _{-\infty }^{\infty }{\mbox{rampa}}(x)e^{-2\pi ifx}dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}
Donde δ(x) es la delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada ).
La transformada de Laplace de
ramp
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{ramp}}(x)}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
x
∈
R
+
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}
L
{
rampa
(
x
)
}
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
x
rampa
(
x
)
d
x
=
1
s
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mbox{rampa}}\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}{\mbox{rampa}}(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}}
Propiedades algebraicas [ editar ] [ editar ] La función rampa es idempotente , lo cual significa que la composición consigo misma es idéntica a la función original
rampa
(
rampa
(
x
)
)
=
rampa
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{rampa}}({\mbox{rampa}}(x))={\mbox{rampa}}(x)\,}
Demostración:
rampa
(
rampa
(
x
)
)
=
rampa
(
x
)
+
|
rampa
(
x
)
|
2
=
rampa
(
x
)
+
rampa
(
x
)
2
=
2
rampa
(
x
)
2
=
rampa
(
x
)
{\displaystyle {\mbox{rampa}}({\mbox{rampa}}(x))={\frac {{\mbox{rampa}}(x)+|{\mbox{rampa}}(x)|}{2}}={\frac {{\mbox{rampa}}(x)+{\mbox{rampa}}(x)}{2}}={\frac {2\ {\mbox{rampa}}(x)}{2}}={\mbox{rampa}}(x)}
donde se ha usado la propiedad de que la función coincide con su valor absoluto. La función rampa de una suma de puede expresarse como:
rampa
(
x
+
y
)
=
{
x
+
y
x
≥
0
,
y
≥
0
x
−
|
y
|
x
≥
0
,
y
≤
0
,
|
x
|
≥
|
y
|
y
−
|
x
|
y
≥
0
,
x
≤
0
,
|
y
|
≥
|
x
|
0
(otros casos)
,
rampa
(
x
+
y
)
=
{
x
+
y
x
≥
0
,
y
≥
0
rampa
(
max
{
x
,
y
}
−
min
{
x
,
y
}
)
x
y
<
0
0
(otros casos)
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(x+y)={\begin{cases}x+y&x\geq 0,y\geq 0\\x-|y|&x\geq 0,y\leq 0,|x|\geq |y|\\y-|x|&y\geq 0,x\leq 0,|y|\geq |x|\\0&{\text{(otros casos)}}\end{cases}},\qquad {\mbox{rampa}}(x+y)={\begin{cases}x+y&x\geq 0,y\geq 0\\{\mbox{rampa}}(\max\{x,y\}-\min\{x,y\})&xy<0\\0&{\text{(otros casos)}}\end{cases}}}
La función rampa de un producto puede expresarse como:
rampa
(
x
y
)
=
rampa
(
x
sgn
(
y
)
)
|
y
|
=
rampa
(
y
sgn
(
x
)
)
|
x
|
{\displaystyle {\mbox{rampa}}(xy)={\mbox{rampa}}(x\ {\mbox{sgn}}(y))|y|={\mbox{rampa}}(y\ {\mbox{sgn}}(x))|x|}
donde
sgn
{\displaystyle {\mbox{sgn}}}
función signo .
Datos: Q1047481