Fórmula de Feynman-Kac

La fórmula de Feynman-Kac, llamada así por Richard Feynman y Mark Kac, establece un vínculo entre las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales (PDE) y los procesos estocásticos. En 1947, cuando Kac y Feynman eran profesores de la Universidad de Cornell, Kac asistió a una conferencia de Feynman y comentó que los dos estaban trabajando en lo mismo desde diferentes direcciones.^[1]​ Del intercambio surgió la fórmula de Feynman-Kac, que demostraba rigurosamente el caso real de la integral de caminos de Feynman. El caso complejo, que ocurre cuando se incluye el giro de una partícula, sigue siendo una problema abierto.^[2]​

La fórmula proporciona un método para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales simulando los caminos aleatorios de un proceso estocástico. Recíprocamente, una clase importante de valores esperados de procesos aleatorios puede ser calculada por métodos deterministas.

Teorema

Considérese la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}$

definida para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle t\in [0,T]}$ y sujeta a la condición terminal

${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$

donde ${\displaystyle \mu ,\sigma ,\psi ,V,f}$ son funciones conocidas, ${\displaystyle T}$ es un parámetro, y ${\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ es la función incógnita. Entonces la fórmula de Feynman-Kac nos dice que la solución se puede escribir como una expectativa condicional

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

bajo la medida de probabilidad ${\displaystyle Q}$ tal que ${\displaystyle X}$ es un proceso de Itô impulsado por la ecuación

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW_{t}^{Q},}$

con ${\displaystyle W^{Q}(t)}$ es un proceso de Wiener (también llamado movimiento browniano) bajo ${\displaystyle Q}$, y la condición inicial para ${\displaystyle X(t)}$ es ${\displaystyle X(t)=x}$.

Demostración parcial

Una demostración de que la fórmula anterior es una solución de la ecuación diferencial es larga, difícil y no se presenta aquí. Sin embargo, es razonablemente sencillo demostrar que, "si existe una solución", debe tener la forma anterior. Una demostración de este resultado menor sería la siguiente:

Sea ${\displaystyle u(x,t)}$ la solución a la ecuación diferencial parcial anterior. Aplicación de la regla producto para procesos de Itô al proceso

${\displaystyle Y(s)=\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)\,dr}$

se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&d\left(\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\right)u(X_{s},s)+\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}}$

A partir de:

${\displaystyle d\left(\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\right)=-V(X_{s},s)\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\,ds,}$

el tercer término es ${\displaystyle O(dt\,du)}$ y se puede eliminar. También tenemos que

${\displaystyle d\left(\int _{t}^{s}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)dr\right)=\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{s},s)ds.}$

Aplicando el lema de Itô a ${\displaystyle du(X_{s},s)}$, se deduce que

${\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}}$

El primer término contiene, entre paréntesis, la ecuación diferencial parcial anterior y, por lo tanto, es cero. Lo que queda es

${\displaystyle dY=\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$

Integrando esta ecuación de ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle T}$, se concluye que

${\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$

Al tomar expectativas, condicionado a <matemáticas>X_{t} = x</matemáticas>, y observar que el lado derecho es un Itô integral, que tiene expectativa cero,^[3]​ de ello se deduce que

${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).}$

El resultado deseado se obtiene observando que

${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[\exp(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

y finalmente

${\displaystyle u(x,t)=E\left[\exp(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

Comentarios

• La demostración anterior de que una solución debe tener la forma dada es esencialmente la de^[4]​ con modificaciones para tener en cuenta ${\displaystyle f(x,t)}$.
• La fórmula de expectativa anterior también es válida para las difusiones Itô N-dimensionales. La ecuación diferencial parcial correspondiente para ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$ se convierte en:^[5]​ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$ donde $${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$$ es decir, ${\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}$, donde ${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}$ denota la traspuesta de ${\displaystyle \sigma }$.
• Esta expectativa puede ser aproximada usando el método de Monte Carlo o método cuasi-Monte Carlos.
• Cuando fue publicado originalmente por Kac en 1949,^[6]​ la fórmula de Feynman-Kac se presentó como una fórmula para determinar la distribución de ciertos funcionales de Wiener. Supongamos que deseamos encontrar el valor esperado de la función $${\displaystyle \exp(-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau )}$$ en el caso donde x(τ) es alguna realización de un proceso de difusión que comienza en x(0) = 0. La fórmula de Feynman-Kac dice que esta expectativa es equivalente a la integral de una solución a una ecuación de difusión. Específicamente, bajo las condiciones que ${\displaystyle uV(x)\geq 0}$, $${\displaystyle E\left[\exp(-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau )\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}$$ donde w(x, 0) = δ(x) y $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.}$$ La fórmula de Feynman-Kac también puede interpretarse como un método para evaluar integrales funcionales de cierta forma. Si $${\displaystyle I=\int f(x(0))\exp(-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt)g(x(t))\,Dx}$$ donde la integral se toma sobre todos paseo aleatorios, entonces $${\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}$$ donde w(x, t) es una solución a la Ecuación parabólica en derivadas parciales $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}$$ con condición inicial w(x, 0) = f(x).

Aplicaciones

En finanzas cuantitativas, la fórmula de Feynman-Kac se utiliza para calcular eficientemente soluciones a la ecuación de Black-Scholes a opciones de precio en acciones^[7]​ y bono cupón cero precios en modelos de estructura de términos afines.

En química cuántica, se usa para resolver la ecuación de Schrödinger con el método puro de difusión Monte Carlo.^[8]​

Véase también

• Lema de Itô
• Desigualdad Kunita-Watanabe
• Teorema de Girsánov
• Ecuación de Kolmogórov (también conocida como ecuación de Fokker-Planck)

Referencias

1. Kac, Mark (1987). Enigmas of Chance: An Autobiography. University of California Press. pp. 115-16. ISBN 0-520-05986-7. 
2. Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987). Quantum Physics: A Functional Integral Point of View (2 edición). New York, NY: Springer. pp. 43-44. ISBN 978-0-387-96476-8. doi:10.1007/978-1-4612-4728-9. Consultado el 13 de abril de 2021. 
3. Øksendal, Bernt (2003). «Theorem 3.2.1. iii)». En Springer-Verlag, ed. Ecuaciones diferenciales estocásticas. Una introducción con aplicaciones (en inglés) (6º edición). p. 30. ISBN 3540047581. 
4. «PDE for Finance». 
5. See Pham, Huyên (2009). Control estocástico de tiempo continuo y optimización con aplicaciones financieras. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-10044-4. 
6. Kac, Mark (1949). «On Distributions of Certain Wiener Functionals». Transactions of the American Mathematical Society 65 (1): 1-13. JSTOR 1990512. doi:10.2307/1990512.  Este artículo está reimpreso en Baclawski, K.; Donsker, M. D., eds. (1979). Mark Kac: Probabilidad, teoría de números y física estadística, artículos seleccionados. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. pp. 268–280. ISBN 0-262-11067-9. 
7. Paolo Brandimarte (6 de junio de 2013). «Chapter 1. Motivación». Numerical Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62557-6. 
8. Caffarel, Michel; Claverie, Pierre (15 de enero de 1988). «Development of a pure diffusion quantum Monte Carlo method using a full generalized Feynman–Kac formula. I. Formalismo». The Journal of Chemical Physics 88 (2): 1088-1099. Bibcode:88.1088C 1988JChPh.. 88.1088C. doi:10.1063/1.454227. 

Bibliografía

• Simon, Barry (1979). Academic Press, ed. Integración funcional y física cuántica. 
• Hall, B. C. (2013). Springer, ed. Teoría cuántica para matemáticos.