Implicación material

Reglas de transformación
Lógica proposicional
Reglas de inferencia
Modus tollendo tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondicional / eliminación Introducción de la conjunción / eliminación Introducción de la disyunción / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de De Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica predicativa
Generalización / instanciación universal Generalización / instanciación existencial
Lógica modal
v t e

Para otros usos de este término, véase Implicación material (desambiguación).

En lógica proposicional, la implicación material^[1]​^[2]​ o definición del condicional^[3]​ es una regla de reemplazo válida que permite que una declaración condicional sea sustituida por una disyunción si y solo si el antecedente es negado. La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no-P o Q y puede sustituir a otra en demostraciones lógicas.

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q}$

Donde "${\displaystyle \leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración con."

Notación formal

La regla de implicación material puede escribirse en la notación subsiguiente:

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg P\lor Q)}$

donde ${\displaystyle \vdash }$ es un símbolo metalógico que significa que ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ es una consecuencia sintáctica de ${\displaystyle (P\to Q)}$ en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

${\displaystyle ((P\lor Q)\land \neg P)\to Q}$

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de "${\displaystyle P\to Q}$", éstas pueden ser reemplazadas con "${\displaystyle \neg P\lor Q}$".

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional.

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg P\lor Q)}$

donde ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Ejemplo

Si se trata de un oso, entonces puede nadar.

Por lo tanto, no es un oso o puede nadar.

donde ${\displaystyle P}$ es la declaración "es un oso" y ${\displaystyle Q}$ es la declaración "este puede nadar".

Si se encontró que el oso no sabía nadar, escrito simbólicamente como ${\displaystyle P\land \neg Q}$, entonces ambas frases son falsas, pero de lo contrario son ambas verdaderas.

Referencias

1. Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic (en inglés) (4ta edición). Wadsworth Publishing. pp. 364–5. 
2. Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (en inglés). Prentice Hall. p. 371. 
3. «Implicación material - Encyclopaedia Herder». encyclopaedia.herdereditorial.com. Consultado el 16 de abril de 2021. 

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Material implication (rule of inference)» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.