Invarianza del dominio

Una función cuya imagen no es un homeomorfismo: g : (−1.1, 1) → R² con g(t) = (t² − 1, t³ − t)

La invarianza del dominio es un teorema topológico sobre subconjuntos homeomorfos de un espacio euclídeo Rⁿ. Afirma que:

Si U es un subconjunto abierto de R^n y f: U→R^n es una función inyectiva y continua, entonces V = f(U) está abierto y f es un homeomorfismo entre U y V.

El teorema y su demostración, publicados en 1912, se deben a Luitzen Egbertus Jan Brouwer.^[1]​ La demostración utiliza herramientas de topología algebraica, en especial el teorema del punto fijo de Brouwer.

Notas

La conclusión del teorema se puede formular de manera equivalente como: "f es una función abierta".

Normalmente, para comprobar que f es un homeomorfismo, se debería verificar que tanto f como su función recíproca f ⁻¹ son continuas; el teorema dice que si el dominio es un subconjunto abierto de Rⁿ y la imagen también está en Rⁿ, entonces la continuidad de f ⁻¹ es automática. Además, el teorema dice que si dos subconjuntos U y V de R ⁿ son homeomórficos, y U está abierto, entonces V debe estar abierto también (debe tenerse en cuenta que V es abierto como un subconjunto de Rⁿ, y no solo en la topología del subespacio; la apertura de V en la topología del subespacio es automática). Ambas afirmaciones no son en absoluto obvias y, en general, no son ciertas fuera de un espacio euclidiano.

Es de crucial importancia que tanto el dominio como el rango de f estén contenidos en un espacio euclidiano de la misma dimensión. Considérese por ejemplo la función f: (0,1) → R² con f(t) = (t, 0). Este mapa es inyectivo y continuo, el dominio es un subconjunto abierto de R, pero la imagen no está abierta en R². Un ejemplo más extremo es g: (-1.1,1) → R² con g (t) = (t ² - & nbsp ; 1, t ³ - t) porque aquí g es inyectiva y continua, pero ni siquiera produce un homeomorfismo en su imagen.

El teorema tampoco es generalmente verdadero en dimensiones infinitas. Considérese por ejemplo el espacio de Banach l^∞ de todas las sucesiones matemáticas reales con límite. Defínase f: l^∞ →l ^∞ como el desplazamiento f(x₁, x₂, ...) = (0 , x₁, x₂, ...). Entonces f es inyectiva y continua, el dominio está abierto en l^∞, pero la imagen no.

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema de invariancia de dominio es que R ⁿ no puede ser homeomorfo con R^m si m ≠ n. De hecho, ningún subconjunto abierto no vacío de R ⁿ puede ser homeomorfo a cualquier subconjunto abierto de R^m en este caso.

Generalizaciones

El teorema de invariancia del dominio puede generalizarse a variedades: si M y N son topológicamente n-variedades sin límite y f: M → N es una función continua que localmente uno a uno (lo que significa que cada punto en M tiene un entorno tal que f restringido a este entorno es inyectiva), entonces f es una función abierta (lo que significa que f(U) está abierto en N siempre que U sea un subconjunto abierto de M) y un homeomorfismo local.

También existen generalizaciones para ciertos tipos de mapas continuos de un espacio de Banach sobre sí mismo.^[2]​

Véase también

• Teorema de las funciones abiertas para otras condiciones que aseguren que una función continua dada sea abierta.

Referencias

1. Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; see also 72 (1912), pages 55–56
2. Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach. C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935) pages 1083–1093

Enlaces externos

• J. van Mill. «Domain invariance». Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers. SpringerEOM. ISBN 978-1-55608-010-4.