Mészáros comenzó a competir en competiciones internacionales senior en 2019. Compitió en los Campeonatosde Europa y del Mundo de 2019, pero no se clasificó para ninguna final.[8][9] En el Campeonato de Europa de 2020, ayudó a la selección húngara a ganar la medalla de bronce detrás de Ucrania y Turquía.[10] En la final del evento, terminó sexto en ejercicios de piso y caballo con arcos y quinto en barras paralelas.[11]
Mészáros terminó 17.º en la final general y quinto en la final de barra horizontal en el Campeonato de Europa de 2023.[13][14] Ganó cuatro medallas en la Copa Mundial Challenge de Tel Aviv 2023: oro en ejercicios de suelo y suelo y plata en caballo con arcos y barras paralelas, lo que lo convirtió en el gimnasta más condecorado del evento.[15] Luego, en la Copa Mundial Challenge de Osijek, ganó la medalla de bronce en ejercicios de suelo.[16] Luego ganó tres medallas en la Copa Mundial Challenge de Szombathely: oro en ejercicios de suelo, plata en barras paralelas y bronce en barra horizontal.[17] Al final de la serie World Challenge Cup, ocupó el primer lugar en barras paralelas y estuvo entre los cinco primeros en todas las pruebas, excepto en anillos fijos.[18] Mészáros terminó 18.º en la ronda de clasificación del Campeonato Mundial de 2023.[19] Como una de las ocho mejores gimnastas que no son de un país que clasificó a un equipo completo, obtuvo una cuota individual para los Juegos Olímpicos de 2024.[20] Terminó 11.º en la final general con una puntuación total de 81,665.[21]
Mészáros comenzó la temporada 2022 en la Osijek World Challenge Cup, terminando octavo en ejercicio de piso, cuarto en caballo con arcos y quinto en barras paralelas.[22] Luego, en la Koper World Challenge Cup, ganó la medalla de bronce en el caballo con arcos.[23] Ayudó a que la selección húngara terminara sexta en el Campeonato de Europa de 2022 y terminó sexto en la clasificación general.[24][25] En la final de ejercicios de suelo, ganó la medalla de plata detrás del campeón olímpico defensor Artem Dolgopyat.[26] Esta fue la primera vez que una gimnasta húngara ganó una medalla de plata europea en ejercicios de suelo, después de que Róbert Gál y György Guczoghy ganaran medallas de bronce en la prueba.[27] En la Szombathely World Challenge Cup, Mészáros ganó su primer título de la Copa Mundial de la FIG en la barra horizontal.[28] Luego, en el Campeonato Mundial, volvió a terminar en el puesto 14 en la final general.[29]