Media generalizada

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:^[1]​

${\displaystyle M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}}$

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

${\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media cuadrática

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media aritmética

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media geométrica

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media armónica

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})}$

Definición

Sea ${\displaystyle x}$ una variable discreta que asume los ${\displaystyle n}$ valores positivos

${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$

, el número

${\displaystyle c_{\beta }=({\frac {x_{1}^{\beta }+x_{2}^{\beta }...+x_{n}^{\beta }}{n}})^{\frac {1}{\beta }}}$

se denomina media potencial de grado ${\displaystyle \beta }$ de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$. En particular, el número^[2]​

${\displaystyle c_{1}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}$

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

${\displaystyle c_{2}=({\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}{n}})^{\frac {1}{2}}}$

se llama media cuadrática;,^[3]​ finalmente, el número

${\displaystyle c_{-1}=({\frac {x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...x_{n}^{-1}}{n}})^{-1}}$

se denomina media armónica de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$.

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado ${\displaystyle \beta }$, de modo que puede asumir cualquier valor real

${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$

Y el valor de x debe ser positivo.^[4]​

Proposiciones

Comparación con la media geométrica

Si ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ son números positivos y, a su vez, ${\displaystyle k<0<l}$ entonces se cumple

${\displaystyle c_{k}\leq G\leq c_{l}}$

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potencias

Dado los números positivos x₁, x₂,..., x_n se cumple que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_n^n[5]​

Monotonía de la media potencial respecto al grado

Si x₁, x₂,..., x_n son números posiivos y m < p, se tiene C _m≤ C_p. Ocurre la igualdad C _m = C_p únicamente si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Relación de orden entre diversas medias potenciales

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c₀, se tiene la siguiente sucesión^[6]​

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

Propiedades

${\displaystyle M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j}$

Para ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ es continua respecto a ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$. Obsérvese que para valores de ${\displaystyle m\leq 0}$ la expresión solo tiene sentido si todos los ${\displaystyle x_{i}\geq 0}$.

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.^[7]​

Aplicaciones

Media geométrica

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedio

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.^[8]​

Sean r₁= 6, r₂ = 8, r₃ = 11 y r₄ = 15.

Se aplica la media cuadrática

${\displaystyle r_{m}={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}{4}}}}$

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

${\displaystyle r_{m}=10.56}$

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

${\displaystyle r_{a}=10}$

Medida promedial de arista

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.^[9]​

Sean a₁ = 8, a₂ = 10 y a₃ = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

${\displaystyle a_{m}={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{3}}}}$

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

${\displaystyle a_{m}=10.26}$

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

${\displaystyle a=10}$

Velocidad promedio

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de ${\displaystyle 40\;\mathrm {km/h} }$ y aguas arriba a la velocidad de ${\displaystyle 25\;\mathrm {km/h} }$, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores ${\displaystyle v_{1}=40,v_{2}=25}$,

${\displaystyle v_{p}=({\frac {v_{1}^{-1}+v_{2}^{-1}}{2}})^{-1}}$

, para los datos dados, resulta ${\displaystyle v_{p}=30{,}77\mathrm {~km/h} }$ distinto al promedio aritmético ${\displaystyle {\frac {40+25}{2}}=32{,}5\mathrm {~km/h} }$.

Véase también

• Media aritmética
• Media armónica
• Media cuadrática
• Media geométrica
• Media heroniana

Notas y referencias

1. Cf. "Media generalizada". Merigó. The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making
2. Publicación referida, pg. 17
3. Publicación referida, la misma pg.
4. Condición necesaria en la definición de c_β que usa una función exponencial x^β
5. Obra citada, pg. 18
6. Obra citada; pg. 29
7. Merigó, José M.; Casanovas, Montserrat (2009). «The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making». Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa 9: 69-84. ISSN 1886-516X.  (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
8. Adaptación a las definiciones de la publicación de Korovkin
9. Procedimiento sobre la base de la definición de media potencial

Bibliografía

Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.