Número de Størmer

Un número de Størmer, también denominado número arcotangente-irreductible , es un número natural n, para el cual el factor primo más grande de (n² + 1) es mayor o igual a 2n. El nombre se debe al geofísico y matemático noruego Carl Størmer.

Definición

Un número natural ${\displaystyle n}$ es un número de Størmer si existe un número primo ${\displaystyle p}$ con ${\displaystyle p\geq 2n}$ y ${\displaystyle p|(n^{2}+1)}$, donde | denota la relación de divisibilidad.^[1]​

Ejemplo

n=33 es un número de Størmer. El mayor factor primo de ${\displaystyle n^{2}+1=33^{2}+1=1090=2\cdot 5\cdot 109}$ es ${\displaystyle 109}$ y este es mayor que ${\displaystyle 2n=2\cdot 33=66}$.

Números de Størmer

Los siguientes son números de Størmer:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, ...^[2]​

Ocurrencias

Los números de Størmer aparecen, por ejemplo, en el examen de los valores de la función arcotangente para argumentos enteros. Un valor tal se llama ${\displaystyle \arctan(n)}$-reducible, cuando se puede expresar como combinación lineal entera (de coeficientes enteros):

${\displaystyle \arctan(n)=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\cdot \arctan(k),\quad a_{k}\in \mathbb {Z} }$

de valores de esta función para argumentos enteros menores, como por ejemplo:

${\displaystyle \arctan(3)=3\cdot \arctan(1)-\arctan(2)}$,

${\displaystyle \arctan(7)=-\arctan(1)+2\cdot \arctan(2)}$,

${\displaystyle \arctan(8)=2\cdot \arctan(1)+\arctan(3)-\arctan(5)}$.

Resulta entonces que ${\displaystyle \arctan(n)}$ es irreducible, o sea, no puede expresarse por una combinación lineal del tipo indicado, exactamente cuando ${\displaystyle n}$ es un número de Størmer.^[3]​ Esto explica la denominación alternativa número arcotangente-irreductible que se menciona al comienzo.

Referencias

1. Conway, John Horton; Guy, Richard Kenneth (2012). The Book of Numbers (en inglés). Springer Science & Business Media. p. 245. ISBN 9781461240723. 
2. «Secuencia A005528 Størmer numbers». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®). 
3. Todd, John (1949)). «A Problem on Arc Tangent Relations». American Mathematical Monthly 56 (8): 517-528. 

Enlaces externos

• Størmer number (MathWorld)