Número de divisores armónicos

Este artículo trata sobre números divisores armónicos. Para significados de número armónico, véase número armónico (desambiguación).

En matemáticas, un número de divisores armónicos, o número de Ore (llamado así por Øystein Ore, quien lo definió en 1948), es un número entero positivo cuyos divisores tienen una media armónica que es un número entero.^[1]​ Los primeros números de divisores armónicos son:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (sucesión A001599 en OEIS).

Ejemplos

Por ejemplo, el número 6 se dice que es de divisores armónicos porque sus cuatro divisores (1, 2, 3 y 6) poseen una media armónica que es un número entero:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.}$

El número 140 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140. Su media armónica es:

${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5}$

y 5 es un número entero, lo que hace que 140 sea un número de divisores armónicos.

Factorización de la media armónica

La media armónica H(n) de los divisores de cualquier número n se puede expresar como la fórmula

${\displaystyle H(n)={\frac {n\sigma _{0}(n)}{\sigma _{1}(n)}}}$

donde σ_i(n) es la suma de las i potencias de los divisores de n: σ₀ es el número de divisores y σ₁ es la suma de los divisores (Cohen, 1997). Todos los términos de esta fórmula son multiplicativos, aunque no completamente multiplicativos. Por lo tanto, la media armónica H(n) también es multiplicativa.

Esto significa que, para cualquier número entero positivo n, la media armónica H(n) se puede expresar como el producto de las medias armónicas de las potencias primas de la factorización de n.

Por ejemplo, se tiene que

${\displaystyle H(4)={\frac {3}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}=12/7}$

${\displaystyle H(5)={\frac {2}{1+{\frac {1}{5}}}}=5/3,}$

${\displaystyle H(7)={\frac {2}{1+{\frac {1}{7}}}}=7/4,}$

y

${\displaystyle H(140)=H(4\cdot 5\cdot 7)=H(4)\cdot H(5)\cdot H(7)={\frac {12}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {7}{4}}=5.}$

Números de divisores armónicos y números perfectos

Demostración con las regletas de Cuisenaire de la perfección del número 6

Para cualquier entero M, como observó Ore, el producto de la media armónica y de la media aritmética de sus divisores es igual a M, como puede verse en las definiciones. Por tanto, M es armónico, con k divisores de media armónica, si y solo si la media de sus divisores es el producto de M por una fracción unitaria 1/k.

Ore demostró que cada número perfecto es de divisores armónicos. Para ver esto, se debe observar que la suma de los divisores de un número perfecto M es exactamente 2M. Por lo tanto, el promedio de los divisores es M(2/τ(M)), donde τ(M) denota el número de divisores de M. Para cualquier M, τ(M) es impar si y solo si M es un cuadrado perfecto, de lo contrario, cada divisor d de M puede emparejarse con un divisor diferente M/d. Pero, ningún número perfecto puede ser un cuadrado: esto se sigue de la forma conocida de los números perfectos pares y del hecho de que los números perfectos impares (si existen) deben tener un factor de la forma q^α donde α ≡ 1 (mod 4). Por lo tanto, para un número perfecto M, τ(M) es par y la media de los divisores es el producto de M por la fracción unitaria 2/τ(M), y en consecuencia, M es un número de divisores armónicos.

Ore conjeturó que no existen números de divisores armónicos impares distintos de 1. Si la conjetura es cierta, esto implicaría la inexistencia de números perfectos impares.

Límites y búsquedas informáticas

W. H. Mills (inédito; véase Muskat) demostró que cualquier número de divisores armónicos impar superior a 1 debe tener un factor de potencia primo superior a 10⁷, y Cohen demostró que dicho número debe tener al menos tres factores primos diferentes.Cohen y Sorli (2010) demostró que no hay números de divisores armónicos impares menores que 10²⁴.

Cohen, Goto y otros, empezando por el propio Ore, han realizado búsquedas informáticas que enumeran todos los números de divisores armónicos pequeños. A partir de estos resultados, se conocen listas de todos los números de divisores armónicos hasta 2 × 10⁹, y todos los números de divisores armónicos para los que la media armónica de los divisores es como máximo 300.

Referencias

1. Eric W. Weisstein (2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. pp. 1304 de 3252. ISBN 9781420035223. Consultado el 20 de septiembre de 2022. 

Bibliografía

• Bogomolny, Alexander. «An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer». Consultado el 10 de septiembre de 2006. 
• Cohen, Graeme L. (1997). «Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean». Mathematics of Computation 66 (218): 883-891. doi:10.1090/S0025-5718-97-00819-3. 
• Cohen, Graeme L.; Sorli, Ronald M. (2010). «Odd harmonic numbers exceed 10²⁴». Mathematics of Computation 79 (272): 2451. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. 
• Goto, Takeshi. «(Ore's) Harmonic Numbers». Archivado desde el original el 6 de enero de 2006. Consultado el 10 de septiembre de 2006. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer Science+Business Media. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Muskat, Joseph B. (1966). «On Divisors of Odd Perfect Numbers». Mathematics of Computation 20 (93): 141-144. JSTOR 2004277. doi:10.2307/2004277. 
• Ore, Øystein (1948). «On the averages of the divisors of a number». American Mathematical Monthly 55 (10): 615-619. JSTOR 2305616. doi:10.2307/2305616. 

Enlaces externos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Weisstein, Eric W. «Harmonic Divisor Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.