Número primo pitagórico

Un número primo pitagórico^[1]​ es un número primo de la forma 4n + 1. El conjunto de los números primos pitagóricos es exactamente el conjunto de los números primos que pueden ser la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados enteros.

Los primeros números primos pitagóricos son:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, … ((sucesión A002144 en OEIS)).

Propiedades

El teorema de la suma de dos cuadrados de Fermat establece que estos números primos admiten representación única (salvo orden) en forma de suma de dos cuadrados, y que ningún otro número primo se puede expresar de esta manera con la excepción de 2=1²+1². Por tanto, solo estos números primos (y el 2) pueden ser normas de enteros gaussianos.Pero como entero gaussiano no son primos, pues ${\displaystyle 5=(2+i)(2-i)}$

La ley de la reciprocidad cuadrática establece que si p y q son primos impares y al menos uno de ellos es pitagórico, entonces p es un residuo cuadrático módulo q si y solo si q es un residuo cuadrático módulo p. Sin embargo, si ni p ni q son pitagóricos, entonces p es un residuo cuadrático módulo q si y solo si q no es un residuo cuadrático módulo p. −1 es un residuo cuadrático módulo p si y solo si p es un número primo pitagórico (o 2).

Véase también

• Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados

Enlaces externos

• Pythagorean prime en PlanetMath.

Referencias

1. La denominación no significa que estos primos hayan sido estudiados o nombrados por Pitágoras, sino que surge de un estudio de Fermat y un teorema de Euler, quien, 125 años después de lo expresado por Fermat en sus notas marginales, pudo demostrar la afirmación por el mismo método de decrecimiento indefinido con el que Fermat aseguraba haber demostrado el teorema (En una carta a Roberval). El nombre se usó posteriormente con el sentido de que es un número primo que es hipotenusa de una terna pitagórica. Esto consta en el Capítulo "Temas de los Enteros", Apartado 8, del libro "El Número. Lenguaje de la Ciencia", de Tobías Dantzig, según la traducción española de la cuarta edición, en inglés, publicado en Buenos Aires por Editorial Hobbs Sudamericana S.A. (1971), páginas 296 y 297.