Números amigables

En teoría de números, números amigables (o también números amistosos) son dos o más números naturales con un índice de abundancia común, es decir, con el mismo cociente entre la suma de los divisores del número $\sigma (n)$ y el propio número $n$ :

Se dice que dos números naturales $a$ y $b$ son "amigables" si se cumple que: ${\frac {\sigma (a)}{a}}={\frac {\sigma (b)}{b}}$

A pesar de la aparente simplicidad del concepto, todavía quedan sin resolver varios problemas relacionados con los números amigables.

Definiciones

Dos números con el mismo índice de abundancia forman una pareja amigable, y n números con el mismo índice de abundancia forman una n-tupla amigable.

Ser mutuamente amigable es un relación de equivalencia y, por lo tanto, induce una partición de los números naturales positivos en clubes (clases de equivalencia) de números mutuamente amigables entre sí.

Un número que no forma parte de ningún par amigable se llama solitario.

El índice de abundancia de n es el número racional σ(n) / n, en el que σ denota la función suma de los divisores. Un número n es un número amistoso si existe m ≠ n tal que σ(m) / m = σ(n) / n. El índice de abundancia no es lo mismo que la abundancia, que se define como σ(n) − 2n.

El índice de abundancia también se puede expresar como $\sigma _{-\!1}(n)$ , donde $\sigma _{k}$ denota una función divisor con $\sigma _{k}(n)$ igual a la suma de las potencias k-ésimas de los divisores de n.

A pesar de la similitud de los nombres, no existe una relación específica entre los números amigables y los números amigos o los números sociables, aunque las definiciones de los dos últimos también involucran la función divisor.

Ejemplos

Los números del 1 al 5 son todos solitarios. El número amigable más pequeño es 6, y forma una pareja de números amigables con 28, ya que ambos tienen el mismo índice de abundancia: σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, el mismo valor que σ (28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. El valor compartido 2 es un número entero en este caso, pero no en muchos otros casos. Los números con índice de abundancia 2 también se conocen como los números perfectos.

Como otro ejemplo, 30 y 140 forman un par amigable porque 30 y 140 tienen el mismo índice de abundancia:

{\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}

{\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.

Los números 2480, 6200 y 40640 también son miembros de este club, ya que cada uno tiene un índice de abundancia igual a 12/5.

Para ver un ejemplo de números impares amigables, considérense 135 y 819, con índice de abundancia 16/9 (ambos defectivos). También hay casos de números pares amigables con números impares, como 42 y 544635 (con índice de abundancia 16/7). El amigo impar puede ser menor que el par, como en 84729645 y 155315394 ("abundancia" 896/351).

Un cuadrado perfecto puede ser amigable, por ejemplo, tanto 693479556 (el cuadrado de 26334) como 8640 tienen "abundancia" 127/36 (este ejemplo está acreditado por Dean Hickerson).

Casos de n pequeños

En la siguiente tabla, los números azules son números amigables probados (sucesión A074902 en OEIS), los números rojos son números solitarios probados (sucesión A095739 en OEIS), los números n tales que n y $\sigma (n)$ son números coprimos (sucesión A014567 en OEIS) se dejan en negro, aunque también son conocidos por ser solitarios. Otros números tienen estado desconocido y aparecen subrayados.

Casuítica "amigable" de los números entre 1 y 144
n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$	n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$	n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$	n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
1	1	1	37	38	38/37	73	74	74/73	109	110	110/109
2	3	3/2	38	60	30/19	74	114	57/37	110	216	108/55
3	4	4/3	39	56	56/39	75	124	124/75	111	152	152/111
4	7	7/4	40	90	9/4	76	140	35/19	112	248	31/14
5	6	6/5	41	42	42/41	77	96	96/77	113	114	114/113
6	12	2	42	96	16/7	78	168	28/13	114	240	40/19
7	8	8/7	43	44	44/43	79	80	80/79	115	144	144/115
8	15	15/8	44	84	21/11	80	186	93/40	116	210	105/58
9	13	13/9	45	78	26/15	81	121	121/81	117	182	14/9
10	18	9/5	46	72	36/23	82	126	63/41	118	180	90/59
11	12	12/11	47	48	48/47	83	84	84/83	119	144	144/119
12	28	7/3	48	124	31/12	84	224	8/3	120	360	3
13	14	14/13	49	57	57/49	85	108	108/85	121	133	133/121
14	24	12/7	50	93	93/50	86	132	66/43	122	186	93/61
15	24	8/5	51	72	24/17	87	120	40/29	123	168	56/41
16	31	31/16	52	98	49/26	88	180	45/22	124	224	56/31
17	18	18/17	53	54	54/53	89	90	90/89	125	156	156/125
18	39	13/6	54	120	20/9	90	234	13/5	126	312	52/21
19	20	20/19	55	72	72/55	91	112	16/13	127	128	128/127
20	42	21/10	56	120	15/7	92	168	42/23	128	255	255/128
21	32	32/21	57	80	80/57	93	128	128/93	129	176	176/129
22	36	18/11	58	90	45/29	94	144	72/47	130	252	126/65
23	24	24/23	59	60	60/59	95	120	24/19	131	132	132/131
24	60	5/2	60	168	14/5	96	252	21/8	132	336	28/11
25	31	31/25	61	62	62/61	97	98	98/97	133	160	160/133
26	42	21/13	62	96	48/31	98	171	171/98	134	204	102/67
27	40	40/27	63	104	104/63	99	156	52/33	135	240	16/9
28	56	2	64	127	127/64	100	217	217/100	136	270	135/68
29	30	30/29	65	84	84/65	101	102	102/101	137	138	138/137
30	72	12/5	66	144	24/11	102	216	36/17	138	288	48/23
31	32	32/31	67	68	68/67	103	104	104/103	139	140	140/139
32	63	63/32	68	126	63/34	104	210	105/52	140	336	12/5
33	48	16/11	69	96	32/23	105	192	64/35	141	192	64/47
34	54	27/17	70	144	72/35	106	162	81/53	142	216	108/71
35	48	48/35	71	72	72/71	107	108	108/107	143	168	168/143
36	91	91/36	72	195	65/24	108	280	70/27	144	403	403/144

Números solitarios

Un número que pertenece al club de los solitarios (porque ningún otro número es amigable con él), se denomina un número solitario. Se sabe que todos los números primos son solitarios, al igual que las potencias de los números primos. Más generalmente, si los números n y σ(n) son números coprimos, lo que significa que el máximo común divisor de estos números es 1, de modo que σ(n)/n es una fracción irreducible, entonces el número n es (sucesión A014567 en OEIS) solitario. Para un número primo p se tiene que σ(p) = p + 1, que es coprimo con p.

No se conoce ningún método general para determinar si un número es amigable o solitario. El número más pequeño cuya clasificación se desconoce es 10; aunque se conjetura que es solitario. Si no lo es, su amigo más pequeño es al menos de un tamaño superior a $10^{30}$ .^[1]^[2] También se sabe que existen números pequeños con su amigo más pequeño relativamente grande: por ejemplo, 24 es amigable, pero su amigo más pequeño es 91.963.648.^[1]^[2]

Clubes grandes

Es un problema abierto si existen clubes infinitamente grandes de números amigos entre sí. Los números perfectos forman un club, y se conjetura que hay infinitos de ellos (al menos tantos como primos de Mersenne), pero no se conocen pruebas al respecto. A 2018 de 12, se conocen 51 números perfectos, el mayor de los cuales tiene más de 49 millones de dígitos en la notación decimal. Hay clubes conocidos con más miembros: en particular, los formados por los números perfectos múltiples, que son números cuyo índice de abundancia es un número entero. A principios de 2013, el club de números amigos con índice de abundancia igual a 9 contaba con 2094 miembros conocidos.^[3] Aunque se sabe que algunos son bastante grandes, se supone que los clubes de números perfectos múltiples (excluyendo los propios números perfectos) son finitos.

Densidad asintótica

Todo par a, b de números amigos da lugar a que una proporción positiva de todos los números naturales sean amigos (pero en diferentes clubes), al considerar los pares na, nb para multiplicadores n con mcd(n, ab) = 1. Por ejemplo, la pareja amiga primitiva 6 y 28 da lugar a las parejas amigas 6n y 28n para todos los n que son congruentes a 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 o 41 módulo 42.^[4]

Esto demuestra que la densidad natural de los números amigos (si existe) es positiva.

Anderson y Hickerson propusieron que la densidad debería ser de hecho 1 (o de manera equivalente, que la densidad de los números solitarios debería ser 0).^[4] Según el artículo de MathWorld sobre Números solitarios (véase la sección de Referencias a continuación), esta conjetura no se ha resuelto, aunque Pomerance llegó a pensar que la había refutado.

Referencias

↑ ^a ^b Cemra, Jason. «10 Solitary Check». Github/CemraJC/Solidarity.
↑ ^a ^b «OEIS sequence A074902». OEIS. Consultado el 10 de julio de 2020.
↑ Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page». Consultado el 20 de abril de 2008.
↑ ^a ^b Anderson, C. W.; Hickerson, Dean; Greening, M. G. (1977). «6020». The American Mathematical Monthly 84 (1): 65-66. JSTOR 2318325. doi:10.2307/2318325.

Bibliografía

Suciedad, James. Un video sobre el número 10. Numberphile.
Weisstein, Eric W. «Friendly Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Friendly Pair». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Solitary Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Abundancy». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q1707307

[:0-1] Cemra, Jason. «10 Solitary Check». Github/CemraJC/Solidarity.

[:1-2] «OEIS sequence A074902». OEIS. Consultado el 10 de julio de 2020.

[3] Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page». Consultado el 20 de abril de 2008.

[AndersonHickerson-4] Anderson, C. W.; Hickerson, Dean; Greening, M. G. (1977). «6020». The American Mathematical Monthly 84 (1): 65-66. JSTOR 2318325. doi:10.2307/2318325.

[1]

[2]

[3]

[4]