Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por ${\displaystyle N(S)=\{g\in G:gSg^{-1}=S\}}$

En donde ${\displaystyle gSg^{-1}}$ es el conjunto definido como ${\displaystyle \{gsg^{-1}:s\in S\}}$.

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

Demostración

Para demostrar que es un subgrupo, basta demostrar que el producto ${\displaystyle ab^{-1}}$ donde ${\displaystyle a,b}$ son dos elementos cualesquiera de ${\displaystyle N(S)}$ también es elemento de ${\displaystyle N(S)}$, esto es, hayque demostrar que para todo ${\displaystyle s\in S}$ el elemento ${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}}$ también pertenece a S. Primero demostramos que si ${\displaystyle b\in N(S)}$ entonces ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$ ya que para cualquier ${\displaystyle s\in S}$ existe un ${\displaystyle s_{1}\in S}$ que satisfaga ${\displaystyle bsb^{-1}=s_{1}}$, pero entonces ${\displaystyle s=(b^{-1})s_{1}(b)\in S}$, es decir, ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$ Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando ${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}s(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}sba^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}}$ observamos que a está conjugando al elemento ${\displaystyle b^{-1}sb}$, el cual a su vez es la conjugación por ${\displaystyle b^{-1}}$ de s. Pero como ${\displaystyle b\in N(S)}$, entonces ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$ y por tanto ${\displaystyle b^{-1}sb\in S}$. Denotemos por ${\displaystyle s_{2}}$ a ${\displaystyle b^{-1}sb}$ y entonces la expresión original se reescribe como ${\displaystyle as_{2}a^{-1}}$ que, al estar a en ${\displaystyle N(S)}$, también pertenece a S. Concluimos entonces que ${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}\in S}$ y por tanto ${\displaystyle N(S)}$ es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Demostración

Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$, que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: ${\displaystyle [G:N(H)]}$ y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito. Además, dos clases de conjugación coinciden, ${\displaystyle aHa^{-1}=bHb^{-1}}$, si y sólo si ${\displaystyle ab^{-1}\in N(H)}$

• Según Lang, se consideran estas dos más:
• Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
• El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Ejemplos

• El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
• El subgrupo H de ${\displaystyle S_{4}}$ generado por el ciclo ${\displaystyle (1,2,3,4)\,}$ no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones ${\displaystyle (1,2,3,4),(2,4),(1,3)(2,4)\,}$.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2 edición), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 ..
• Fraleigh, John (1987), Álgebra abstracta 1 (1 edición), Addison-Wesley iberoamericana, ISBN 0-201-64052-X ..

Bibliografía

• Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
• Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos (2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.
• Lang, Serge: Álgebra (1973), Aguilar, Madrid, primera reimpresión.