Número de Sierpiński

En matemática, un número de Sierpiński es un número natural impar k tal que enteros de la forma k2ⁿ + 1 son compuestos (no son números primos) para todos los números naturales n.

En otras palabras, cuando k es un número de Sierpiński, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:

${\displaystyle \left\{\,k2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}$

Los números en este conjunto con k impar y k < 2ⁿ son llamados números de Proth.

En 1960 Wacław Sierpiński demostró que existen infinitos números naturales impares que al ser usados como k producen números no primos.

Problema de Sierpiński

El problema de Sierpiński consiste en averiguar cuál es el menor número de Sierpiński.

En 1962, John Selfridge propuso lo que se conoce como la Conjetura de Selfridge: que la respuesta al problema de Sierpiński era el número 78 557. Selfridge encontró que cuando 78 557 era usado como k, todos los números resultantes pueden ser factorizados por miembros del conjunto {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. En otras palabras, Selfridge demostró que 78 557 era un número de Sierpiński.

Para mostrar que 78 557 es realmente el número de Sierpiński más pequeño, debe demostrarse que todos los números impares menores que 78 557 no son números de Sierpiński. A noviembre de 2016 solo faltan por demostrar cinco de estos números, y Seventeen or Bust, un proyecto de computación distribuida, está realizando esta tarea. Si el proyecto encuentra números primos para cada uno de estos cinco números, se habrá completado la demostración a la conjetura de Selfridge.

PrimeGrid es un proyecto de computación distribuida que tiene un subproyecto para la búsqueda de números primos de Sierpiński. Está basados en la infraestructura abierta de Berkeley para la computación en red(Boinc).

Estado actual

La siguiente tabla muestra el estado actual a noviembre de 2016.

#	k	n	Dígitos de k·2^n+1	Fecha de descubrimiento	Encontrado por
1°	4847	3 321 063	999 744	15 de octubre de 2005	Richard Hassler
2°	5359	5 054 502	1 521 561	6 de diciembre de 2003	Randy Sundquist
3°	19 249	13 018 586	3 918 990	26 de marzo de 2007	Konstantin Agafonov
4 IGUAL	21 181
5°	22 699
6°	24 737
7°	27 653	9 167 433	2 759 677	8 de junio de 2005	Derek Gordon
8°	28 433	7 830 457	2 357 207	30 de diciembre de 2004	Anónimo
9°	33 661	7 031 232	2 116 617	13 de octubre de 2007	Sturle Sunde
10°	44 131	995 972	299 823	6 de diciembre de 2002	deviced (alias)
11°	46 157	698 207	210 186	26 de noviembre de 2002	Stephen Gibson
12°	54 767	1 337 287	402 569	22 de diciembre de 2002	Peter Coels
13°	55 459
14°	65 567	1 013 803	305 190	3 de diciembre de 2002	James Burt
15°	67 607
16°	69 109	1 157 446	348 431	7 de diciembre de 2002	Sean DiMichele

Enlaces externos

• Caldwell, Chris. «The Prime Glossary: Sierpinski number» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=SierpinskiNumber .
• Weisstein, Eric W. «Sierpinski's Composite Number Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• El problema de SIERPINSKI
• Seventeen or Bust: A Distributed Attack on the Sierpinski Problem
• The Prime Sierpinski Problem
• PrimeGrid Búsqueda de números primos, entre ellos primos de Sierpinski.]
• Berkeley Open Infrastructure for Network Computing (BOINC) (en inglés)]
• Quedan solo 5 números por comprobar