Número narcisista

Cuatro números narcisistas de 3 cifras.

En matemática recreativa un número narcisista^[1]​^[2]​ es aquel que es igual a la suma de sus dígitos elevados a la potencia de su número de cifras. Su nombre alude a lo mucho que parecen "quererse a sí mismos".

Esta definición depende de la base b del sistema numérico empleado, por ejemplo b = 10 para el sistema decimal o b = 2 para el sistema binario.

Definición

La definición de número narcisista se basa en la representación decimal n = d_kd_k-1...d₁ de un número natural n.

Por ejemplo,

${\displaystyle n=d_{k}\cdot 10^{k-1}+d_{k-1}\cdot 10^{k-2}+...+d_{2}\cdot 10+d_{1}}$

Con k dígitos d_i siendo 0 ≤ d_i ≤ 9. Así un número es narcisista si se cumple que:

${\displaystyle n=d_{k}^{k}+d_{k-1}^{k}+...+d_{2}^{k}+d_{1}^{k}}$

Un ejemplo de número narcisista es el 153. Puesto que ${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}=1+125+27}$

Como un número narcisista puede definirse con respecto a la base numérica con base b diferente de 10, en base b la representación del número natural n se define como :

n = d_kb^k-1 + d_k-1b^k-2 + ... + d₂b + d₁

donde los dígitos de la base b los dígitos d_i cumplen la condición de que 0 ≤ d_i ≤ b-1.

Por ejemplo, el número decimal 17 es narcisista en su representación en base 3 (b = 3). Este en base-3 se representa como 122, porque 17 = 1·3² + 2·3 + 2  y a su vez cumple la ecuación 17 = 1³ + 2³ + 2³

Si se elimina la restricción de que la potencia debe de tener el mismo valor que la cantidad de dígitos, es decir que m puede tener un valor diferente de k entonces ocurre que :

n = d_k^m + d_k-1^m + ... + d₂^m + d₁^m

Entonces n es lo que se llama un invariante digital perfecto^[2]​^[3]​ o PDI en sus siglas en inglés (perfect digital invariant). Por ejemplo, el número decimal 4150 tiene cuatro dígitos decimales y la suma de sus cifras a la quinta potencia es: 4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵, por lo tanto es un invariante digital perfecto pero no es un número narcisista.

Hay solo cuatro números, después de la unidad, que son suma de los cubos de sus dígitos:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}}$.

Según G.H. Hardy en A Mathematician's Apology: "Estos son datos curiosos, muy adecuados para las columnas del rompecabezas y para divertir a los aficionados, pero no hay nada en ellos que interese al matemático".

Números narcisista en varias bases

Base	Secuencia de números
Base 2	0,1
Base 3	0, 1, 2, 12, 22, 122
Base 4	0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 ... (sucesión A010344 en OEIS) y (sucesión A010343 en OEIS)
Base 8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, ... ((sucesión A010354 en OEIS) y (sucesión A010351 en OEIS))
Base 10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, ... (sucesión A005188 en OEIS)
Base 12	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 25, ᘔ5, 577, 668, ᘔ83, ... (sucesión A161949 en OEIS)
Base 16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, ... (sucesión A161953 en OEIS)

La cantidad de números narcisistas es finito dentro de una base, mientras que el máximo posible de sumas de la k-esima potencia de un dígito k en base b es:

${\displaystyle k(b-1)^{k}}$

y si k es lo suficientemente grande, entonces

${\displaystyle k(b-1)^{k}<b^{k-1}}$

en cuyo caso el número puede tener k o más dígitos. Para el caso de b igual a 10 entonces el mayor número narcisista en base 10 debe de tener menos de 10⁶⁰.^[1]​

Hay sólo 88 números narcisistas en base 10, y el más grande es

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

con 39 dígitos.^[1]​

Todos los números de una cifra son narcisistas.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Narcissistic Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. Perfect and Plus Perfect Digital Invariants Archivado el 10 de octubre de 2007 en Wayback Machine. by Scott Moore
3. PDIs by Harvey Heinz

Enlaces externos

• Digital Invariants (en inglés)
• Armstrong Numbers (en inglés)
• Armstrong Numbers in base 2 to 16 (en inglés)
• Armstrong numbers between 1-999 calculator (en inglés)
• Symonds, Ria. «153 ♥ Narcissistic Number». Numberphile. Brady Haran. Archivado desde el original el 22 de mayo de 2017. Consultado el 27 de diciembre de 2017.  (en inglés)