Número perfecto múltiple

Demostración con regletas de Cuisenaire de la 2-perfección del número 6

En matemáticas, un número perfecto múltiple (también llamado número multiperfecto o número pluscuamperfecto) es una generalización del número perfecto.

Para un número natural k dado, un número n se llama k-perfecto (o k veces-perfecto) si y solo si la suma de todos los divisores positivos de n (la función divisor, σ(n)) es igual a kn; un número es por lo tanto perfecto si y solo si es 2-perfecto. Un número que es k-perfecto para un cierto k se llama número perfecto múltiple. A partir de 2014, se conocen números k perfectos para cada valor de k hasta 11.^[1]​

Se desconoce si hay números perfectos múltiples impares que no sean 1. Los primeros números perfectos múltiples son:

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (sucesión A007691 en OEIS).

Ejemplo

La suma de los divisores de 120 es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

que es 3 × 120. Por lo tanto, 120 es un número perfecto de 3.

Los números k perfectos más pequeños conocidos

La siguiente tabla ofrece una descripción general de los números k perfectos más pequeños conocidos para k ≤ 11 (sucesión A007539 en OEIS):

k	Número k-perfecto más pequeño conocido	Factores	Encontrado por
1	1		en la antigüedad
2	6	2 × 3	en la antigüedad
3	120	2^3 × 3 × 5	en la antigüedad
4	30240	2^5 × 3^3 × 5 × 7	René Descartes, hacia 1638
5	14182439040	2^7 × 3^4 × 5 × 7 × 11^2 × 17 × 19	René Descartes, hacia 1638
6	154345556085770649600 (21 dígitos)	2^15 × 3^5 × 5^2 × 7^2 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257	Robert Daniel Carmichael, 1907
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 dígitos)	2^32 × 3^11 × 5^4 × 7^5 × 11^2 × 13^2 × 17 × 19^3 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479	TE Mason, 1911
8	826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 dígitos)	2^62 × 3^15 × 5^9 × 7^7 × 11^3 × 13^3 × 17^2 × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521^2 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 factores primos distintos)	Stephen F. Gretton, 1990[1]​
9	561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 dígitos)	2^104 × 3^43 × 5^9 × 7^12 × 11^6 × 13^4 × 17 × 19^4 × 23^2 × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 factores primos distintos)	Fred Helenius, 1995[1]​
10	448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 dígitos)	2^175 × 3^69 × 5^29 × 7^18 × 11^19 × 13^8 × 17^9 × 19^7 × 23^9 × 29^3 × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 factores primos distintos)	George Woltman, 2013[1]​
11	251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 dígitos)	2^468 × 3^140 × 5^66 × 7^49 × 11^40 × 13^31 × 17^11 × 19^12 × 23^9 × 29^7 × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 factores primos distintos)	George Woltman, 2001[1]​

Propiedades

Se puede probar que:

• Para un número primo p dado, si n es p-perfecto y p no divide a n, entonces pn es (p+1)-perfecto. Esto implica que un entero n es un número 3 perfecto divisible por 2, pero no por 4, si y solo si n/2 es un número perfecto impar, de los cuales no se conoce ninguno.
• Si 3n es 4k-perfecto y 3 no divide a n, entonces n es 3k-perfecto.

Números perfectos múltiples impares

Se desconoce si existen números perfectos múltiples impares distintos de 1. Sin embargo, si existiese un número n k-perfecto impar para k > 2, entonces debe cumplir las siguientes condiciones:^[2]​

• El factor primo más grande es ≥ 100129
• El segundo factor primo más grande es ≥ 1009
• El tercer factor primo más grande es ≥ 101

Límites

En notación o-minúscula, el número de números perfectos múltiples menores que x es ${\displaystyle o(x^{\varepsilon })}$ para todo ε > 0.^[2]​

El número de números k perfectos n para n ≤ x es menor que ${\displaystyle cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}}$, donde c y c' son constantes independientes de k.^[2]​

Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann, la siguiente desigualdad es cierta para todos los números k perfectos n, cuando k > 3.

${\displaystyle \log \log n>k\cdot e^{-\gamma }}$

cuando ${\displaystyle \gamma }$ es la constante gamma de Euler. Esto se puede probar usando la función divisor.

El número de divisores τ(n) de un k-número perfecto n satisface la desigualdad:^[3]​

${\displaystyle \tau (n)>e^{k-\gamma }}$.

El número de factores primos distintos ω(n) de n satisface que:^[4]​

${\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}-1}$

Si los distintos factores primos de n son ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$, entonces:^[4]​

${\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/k^{2}}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es par}}}$

${\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es impar}}}$

Valores específicos de k

Números perfectos

Artículo principal: Número perfecto

Un número n con σ(n)= 2n es perfecto.

Números triperfectos

Un número n con σ(n)= 3n es triperfecto. Solo hay seis números triperfectos conocidos y se cree que estos comprenden todos esos números:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (sucesión A005820 en OEIS)

Si existe un número perfecto impar m (un famoso problema abierto) entonces 2m sería 3 perfecto, ya que σ(2m)= σ(2)*σ(m)= 3*2m. Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado superior a 10⁷⁰ y tener al menos 12 factores primos distintos, el mayor superior a 10⁵.^[5]​

Variaciones

Números perfectos múltiples unitarios

Se puede hacer una extensión similar para los números perfectos unitarios. Un entero positivo n se denomina número perfecto k múltiple unitario si σ^*(n)=kn donde σ^*(n) es la suma de sus divisores unitarios (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n/d no comparten factores comunes).

Un número perfecto múltiple unitario es simplemente un número perfecto k múltiple unitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples unitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ^*(n). Un número perfecto 2 múltiple unitario se llama naturalmente número perfecto unitario. En el caso k > 2, no se conoce hasta ahora ningún ejemplo de un número perfecto k múltiple unitario. Se sabe que si tal número existe, debe ser par y mayor que 10¹⁰² y debe tener más de cuarenta y cuatro factores primos impares. Este problema es probablemente muy difícil de resolver. El concepto de divisor unitario se debió originalmente a R. Vaidyanathaswamy (1931), quien llamó a dicho divisor factor de bloque. La terminología actual se debe a E. Cohen (1960).

Los primeros números perfectos múltiples unitarios son:

1, 6, 60, 90, 87360 (sucesión A327158 en OEIS)

Números perfectos múltiples biunitarios

Un entero positivo n se denomina número perfecto k múltiple biunitario si σ^**(n)= kn donde σ^**(n) es la suma de sus divisores unitarios. Este concepto se debe a Peter Hagis (1987). Un número perfecto múltiple biunitario es simplemente un número perfecto k múltiple biunitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples biunitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ^**(n). Un número perfecto 2 múltiple biunitario se llama naturalmente número perfecto biunitario, y un número perfecto 3 múltiple biunitario se llama número triperfecto biunitario.

Un divisor d de un entero positivo n se denomina divisor biunitario de n si el máximo común divisor unitario (mcud) de d y de n/d es igual a 1. Este concepto se debe a D. Surynarayana (1972). La suma de los divisores bi-unitarios (positivos) de n se denota por σ^**(n).

Peter Hagis (1987) demostró que no existen números perfectos múltiples biunitarios impares. Haukken y Sitaramaiah (2020) encontraron todos los números triperfectos biunitarios de la forma 2^au, donde 1 ≤ a ≤ 6 y u es impar,^[6]​^[7]​^[8]​ y parcialmente el caso donde a= 7.^[9]​^[10]​ Además, demostraron por completo el caso a= 8.^[11]​

Los primeros números perfectos múltiples biunitarios son:

1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (sucesión A189000 en OEIS)

Referencias

1. Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page». Consultado el 22 de enero de 2014. 
2. Sándor, Mitrinović y Crstici, 2006, p. 105
3. Dagal, Keneth Adrian P. (2013). «A Lower Bound for τ(n) for k-Multiperfect Number». arXiv:1309.3527  [math.NT]. 
4. Sándor, Mitrinović y Crstici, 2006, p. 106
5. Sándor, Mitrinović y Crstici, 2006, pp. 108–109
6. Haukkanen y Sitaramaiah, 2020a
7. Haukkanen y Sitaramaiah, 2020b
8. Haukkanen y Sitaramaiah, 2020c
9. Haukkanen y Sitaramaiah, 2020d
10. Haukkanen y Sitaramaiah, 2021a
11. Haukkanen y Sitaramaiah, 2021b

Bibliografía

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• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020b). «Bi-unitary multiperfect numbers, II». Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (2): 1-26. doi:10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26. 
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020c). «Bi-unitary multiperfect numbers, III». Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (3): 33-67. doi:10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67. 
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• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021b). «Bi-unitary multiperfect numbers, V». Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 27 (2): 20-40. doi:10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40. 
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. Véase también

• Número hemiperfecto

Enlaces externos

• The Multiply Perfect Numbers page
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers
• The Six Triperfect Numbers en YouTube.