Número perfecto unitario

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Hay infinitos números perfectos unitarios?

Un número perfecto unitario es un número entero que es la suma de sus propios divisores unitarios positivos, sin incluir el número en sí (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n/d no comparten ningún factor común). Algunos números perfectos no son números perfectos unitarios y algunos números perfectos unitarios no son números perfectos ordinarios.

Ejemplos conocidos

El número 60 es un número perfecto unitario, porque 1, 3, 4, 5, 12, 15 y 20 son sus propios divisores unitarios, y 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Empezando desde el cinco, los únicos números perfectos unitarios conocidos, son ${\displaystyle 6=2\times 3}$, ${\displaystyle 60=2^{2}\times 3\times 5}$, ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5}$, ${\displaystyle 87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13}$ y ${\displaystyle 146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313}$ (sucesión A002827 en OEIS). Las respectivas sumas de sus propios divisores unitarios son las siguientes:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisores en la suma)

Propiedades

No hay números perfectos unitarios impares. Esto se debe a que 2^d*(n) divide la suma de los divisores unitarios de un número impar n, de modo que d*(n) es el número de factores primos distintos de n. Se obtiene este resultado porque la suma de todos los divisores unitarios es una función multiplicativa y se tiene que la suma de los divisores unitarios de una potencia prima p^a es p^a + 1 que es par para todos primos impares p. Por lo tanto, un número perfecto unitario impar debe tener solo un factor primo distinto, y no es difícil demostrar que una potencia de un número primo no puede ser un número perfecto unitario, ya que no cuenta con suficientes divisores.

No se sabe si hay o no infinitos números perfectos unitarios, o si hay más ejemplos más allá de los cinco ya conocidos. Un sexto de esos números tendría al menos nueve factores primos impares.^[1]​

Referencias

1. Wall, Charles R. (1988). «New unitary perfect numbers have at least nine odd components». Fibonacci Quarterly 26 (4): 312-317. ISSN 0015-0517. MR 967649. Zbl 0657.10003. 

Bibliografía

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science+Business Media. pp. 84–86. ISBN 0-387-20860-7.  Sección B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer Science+Business Media. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300. 
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.