Número primo largo

En teoría de números, un número primo largo, (o también primo repetitivo completo, o primo propio)^[1]^: 166 en base b, es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat

q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}

(donde p no divide a b) genera un número cíclico. Por lo tanto, la expansión en base b de $1/p$ repite infinitamente los dígitos del número cíclico correspondiente, al igual que $a/p$ con la rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y p − 1. El número cíclico correspondiente al primo p poseerá p − 1 dígitos si y solo si p es un número primo largo. Es decir, el orden multiplicativo ord_p b = p − 1, lo que equivale a que b cumpla el ser una raiz

numerica

módulo p.

El término primo largo fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su "Libro de los Números". De manera confusa, Sloane de OEIS se refiere a estos números primos como números cíclicos.

Base 10

Se puede suponer que se trabaja en base 10 si no se especifica la base, en cuyo caso la expansión del número se denomina número decimal periódico. En base 10, si una repetición completa termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición el mismo número de veces que los demás dígitos^[1]^: 166 (para tales números primos en base 10, consúltese (sucesión A073761 en OEIS)). De hecho, en base b, si un primo largo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., b − 1 aparece en la repetición el mismo número de veces que los demás dígitos, pero tal número primo no existe cuando b = 12, ya que cada número primo completo en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base. Generalmente, no existe tal número primo cuando b es congruente a 0 o 1 módulo 4.

Los valores de p menores a 1000 para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en expresión decimal son:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ... (sucesión A001913 en OEIS)

Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857; por lo tanto, 7 es un número primo largo. Además, 1 dividido por 7 escrito en base 10 es 0.142857 142857 142857 142857...

No todos los valores de p producirán un número cíclico usando esta fórmula; por ejemplo, p = 13 da 076923 076923. Estos casos fallidos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios) en el transcurso de p − 1 dígitos.

El patrón conocido de esta sucesión viene de la teoría de números algebraicos. Específicamente, esta sucesión es el conjunto de primos p tal que 10 es una raíz primitiva módulo p. La conjetura de Artin sobre raíces primitivas es que esta secuencia contiene el 37.395...% de los números primos.

Patrones de aparición de números primos largos

Mediante aritmética modular avanzada se puede demostrar que cualquier número primo de las siguientes formas:

40k + 1
40k + 3
40k + 9
40k + 13
40k + 27
40k + 31
40k + 37
40k + 39

nunca puede ser un primo largo en base 10. Los primeros primos de estas formas, con sus periodos, son:

40k + 1	40k + 3	40k + 9	40k + 13	40k + 27	40k + 31	40k + 37	40k + 39
41 periodo 5	3 periodo 1	89 periodo 44	13 periodo 6	67 periodo 33	31 periodo 15	37 periodo 3	79 periodo 13
241 periodo 30	43 periodo 21	409 periodo 204	53 periodo 13	107 periodo 53	71 periodo 35	157 periodo 78	199 periodo 99
281 periodo 28	83 periodo 41	449 periodo 32	173 periodo 43	227 periodo 113	151 periodo 75	197 periodo 98	239 periodo 7
401 periodo 200	163 periodo 81	569 periodo 284	293 periodo 146	307 periodo 153	191 periodo 95	277 periodo 69	359 periodo 179
521 periodo 52	283 periodo 141	769 periodo 192	373 periodo 186	347 periodo 173	271 periodo 5	317 periodo 79	439 periodo 219
601 periodo 300	443 periodo 221	809 periodo 202	613 periodo 51	467 periodo 233	311 periodo 155	397 periodo 99	479 periodo 239

Sin embargo, los estudios muestran que dos tercios de los primos de la forma 40k + n, donde n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} son primos largos. Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos largos es mucho mayor. Por ejemplo, 285 de los 295 primos de la forma 120k + 23 por debajo de 100000 son números primos largos, siendo 20903 el primero que no lo es.

Números primos largos binarios

En sistema binario, los primos largos son: (menores que 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (sucesión A001122 en OEIS)

Para estos números primos, 2 es una raíz primitiva módulo p, por lo que 2ⁿ módulo p puede ser cualquier número natural entre 1 y p − 1.

a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}.

Estas secuencias de período p − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para el desplazamiento de $(p-1)/2$ . La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante los tests diehard.^[2]

Todos ellos son de la forma 8k + 3 o 8k + 5, porque si p = 8k + 1 o 8k + 7, entonces 2 es un residuo cuadrático módulo p, por lo que p divide a $2^{(p-1)/2}-1$ , y el periodo de $1/p$ en base 2 debe dividir a $(p-1)/2$ y no puede ser p − 1, por lo que no son primos largos en base 2.

Además, todos los primos seguros congruentes con 3 módulo 8 son primos largos en base 2. Por ejemplo, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307, 1523, 1619, 1907, etc. (menores de 2000).

Las secuencias de primos largos binarios (también llamadas secuencias decimales de longitud máxima) han encontrado aplicaciones en criptografía y código de corrección de errores.^[3] En estas aplicaciones, generalmente se utilizan decimales periódicos en base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. También se ha analizado la secuencia binaria de longitud máxima para $1/p$ (cuando 2 es una raíz primitiva de p).^[4]

La siguiente tabla contiene los períodos (en binario) de los números primos congruentes con 1 o 7 (mod 8): (menores de 1000)

8k + 1	17	41	73	89	97	113	137	193	233	241	257	281	313	337	353	401	409	433	449	457	521	569
periodo	8	20	9	11	48	28	68	96	29	24	16	70	156	21	88	200	204	72	224	76	260	284
8k + 1	577	593	601	617	641	673	761	769	809	857	881	929	937	953	977	1009	1033	1049	1097	1129	1153	1193
periodo	144	148	25	154	64	48	380	384	404	428	55	464	117	68	488	504	258	262	274	564	288	298
8k + 7	7	23	31	47	71	79	103	127	151	167	191	199	223	239	263	271	311	359	367	383	431	439
periodo	3	11	5	23	35	39	51	7	15	83	95	99	37	119	131	135	155	179	183	191	43	73
8k + 7	463	479	487	503	599	607	631	647	719	727	743	751	823	839	863	887	911	919	967	983	991	1031
periodo	231	239	243	251	299	303	45	323	359	121	371	375	411	419	431	443	91	153	483	491	495	515

Ninguno de ellos es un número primo largo binario.

El periodo binario de cada n-ésimo primo es

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 60, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 96, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, 50, 16, 131, 268, 135, 92, 70, 94, 292, 102, 155, 156, 316, 30, 21, 346, 348, 88, 179, 183, 372, 378, 191, 388, 44, ... (esta secuencia comienza en n = 2, o primo = 3) (sucesión A014664 en OEIS)

El nivel del período binario de cada n-ésimo primo es

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 2, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 18, 1, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 3, 8, 2, 10, 5, 16, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 11, 16, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 10, 6, 6, 1, 2, 6, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, ... (sucesión A001917 en OEIS)

Sin embargo, estudios numéricos demuestran que las tres cuartas partes de los números primos de la forma 8k + n, donde n ∈ {3, 5} son números primos largos en base 2 (por ejemplo, hay 87 números primos por debajo de 1000 congruentes con 3 o 5 módulo 8, y 67 de ellos son números primos largos en base 2, lo que supone un total del 77 %). Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos largos es mucho mayor. Por ejemplo, 1078 de los 1206 números primos de la forma 24k + 5 por debajo de 100000 son números primos de largos en base 2, siendo 1013 el primero que no lo es en base 2.

Primos largos de n-ésimo nivel

Un primo largo de n-ésimo nivel es un primo p que tiene n ciclos diferentes en expansiones de ${\frac {k}{p}}$ (k es un número entero, 1 ≤ k ≤ p−1). En base 10, los números primos largos de nivel n más pequeños son

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931, 9161, 118901, 6763, 18233, 1409, 88741, 4003, 5171, 19489, 86143, 23201, ... (sucesión A054471 en OEIS)

En base 2, los números primos largos de nivel n más pequeños son

3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 601, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 11161, 13099, 1103, 71293, 13121, 17467, 2143, 83077, 25609, 5581, 5153, 26227, 2113, 51941, 2351, ... (sucesión A101208 en OEIS)

n	Primos largos de n-ésimo nivel (en decimal)	Secuencia OEIS
1	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, ...	(sucesión A001913 en OEIS) ((sucesión A006883 en OEIS))
2	3, 13, 31, 43, 67, 71, 83, 89, 107, 151, 157, 163, 191, 197, 199, 227, 283, 293, 307, 311, 347, 359, 373, 401, 409, 431, 439, 443, 467, 479, 523, 557, 563, 569, 587, 599, ...	(sucesión A097443 en OEIS)
3	103, 127, 139, 331, 349, 421, 457, 463, 607, 661, 673, 691, 739, 829, 967, 1657, 1669, 1699, 1753, 1993, 2011, 2131, 2287, 2647, 2659, 2749, 2953, 3217, 3229, 3583, 3691, 3697, 3739, 3793, 3823, 3931, ...	(sucesión A055628 en OEIS)
4	53, 173, 277, 317, 397, 769, 773, 797, 809, 853, 1009, 1013, 1093, 1493, 1613, 1637, 1693, 1721, 2129, 2213, 2333, 2477, 2521, 2557, 2729, 2797, 2837, 3329, 3373, 3517, 3637, 3733, 3797, 3853, 3877, ...	(sucesión A056157 en OEIS)
5	11, 251, 1061, 1451, 1901, 1931, 2381, 3181, 3491, 3851, 4621, 4861, 5261, 6101, 6491, 6581, 6781, 7331, 8101, 9941, 10331, 10771, 11251, 11261, 11411, 12301, 14051, 14221, 14411, ...	(sucesión A056210 en OEIS)
6	79, 547, 643, 751, 907, 997, 1201, 1213, 1237, 1249, 1483, 1489, 1627, 1723, 1747, 1831, 1879, 1987, 2053, 2551, 2683, 3049, 3253, 3319, 3613, 3919, 4159, 4507, 4519, 4801, 4813, 4831, 4969, ...	(sucesión A056211 en OEIS)
7	211, 617, 1499, 2087, 2857, 6007, 6469, 7127, 7211, 7589, 9661, 10193, 13259, 13553, 14771, 18047, 18257, 19937, 20903, 21379, 23549, 26153, 27259, 27539, 32299, 33181, 33461, 34847, 35491, 35897, ...	(sucesión A056212 en OEIS)
8	41, 241, 1601, 1609, 2441, 2969, 3041, 3449, 3929, 4001, 4409, 5009, 6089, 6521, 6841, 8161, 8329, 8609, 9001, 9041, 9929, 13001, 13241, 14081, 14929, 16001, 16481, 17489, 17881, 18121, 19001, ...	(sucesión A056213 en OEIS)
9	73, 1423, 1459, 2377, 2503, 3457, 7741, 9433, 10891, 10909, 16057, 17299, 17623, 20269, 21313, 22699, 24103, 26263, 28621, 28927, 29629, 30817, 32257, 34273, 34327, ...	(sucesión A056214 en OEIS)
10	281, 521, 1031, 1951, 2281, 2311, 2591, 3671, 5471, 5711, 6791, 7481, 8111, 8681, 8761, 9281, 9551, 10601, 11321, 12401, 13151, 13591, 14831, 14951, 15671, 16111, 16361, 18671, ...	(sucesión A056215 en OEIS)
n	Primos largos de n-ésimo nivel (en binario)	Secuencia OEIS
1	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, ...	(sucesión A001122 en OEIS)
2	7, 17, 23, 41, 47, 71, 79, 97, 103, 137, 167, 191, 193, 199, 239, 263, 271, 311, 313, 359, 367, 383, 401, 409, 449, 463, 479, 487, 503, 521, 569, 599, 607, 647, 719, 743, 751, 761, 769, ...	(sucesión A115591 en OEIS)
3	43, 109, 157, 229, 277, 283, 307, 499, 643, 691, 733, 739, 811, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, 1459, 1579, 1597, 1627, 1699, 1723, 1789, 1933, 2179, 2203, 2251, 2341, 2347, 2749, 2917, ...	(sucesión A001133 en OEIS)
4	113, 281, 353, 577, 593, 617, 1033, 1049, 1097, 1153, 1193, 1201, 1481, 1601, 1889, 2129, 2273, 2393, 2473, 3049, 3089, 3137, 3217, 3313, 3529, 3673, 3833, 4001, 4217, 4289, 4457, 4801, 4817, 4937, ...	(sucesión A001134 en OEIS)
5	251, 571, 971, 1181, 1811, 2011, 2381, 2411, 3221, 3251, 3301, 3821, 4211, 4861, 4931, 5021, 5381, 5861, 6221, 6571, 6581, 8461, 8501, 9091, 9461, 10061, 10211, 10781, 11251, 11701, 11941, 12541, ...	(sucesión A001135 en OEIS)
6	31, 223, 433, 439, 457, 727, 919, 1327, 1399, 1423, 1471, 1831, 1999, 2017, 2287, 2383, 2671, 2767, 2791, 2953, 3271, 3343, 3457, 3463, 3607, 3631, 3823, 3889, 4129, 4423, 4519, 4567, 4663, 4729, 4759, ...	(sucesión A001136 en OEIS)
7	1163, 1709, 2003, 3109, 3389, 3739, 5237, 5531, 5867, 7309, 9157, 9829, 10627, 10739, 11117, 11243, 11299, 11411, 11467, 13259, 18803, 20147, 20483, 21323, 21757, 27749, 27763, 29947, ...	(sucesión A152307 en OEIS)
8	73, 89, 233, 937, 1217, 1249, 1289, 1433, 1553, 1609, 1721, 1913, 2441, 2969, 3257, 3449, 4049, 4201, 4273, 4297, 4409, 4481, 4993, 5081, 5297, 5689, 6089, 6449, 6481, 6689, 6857, 7121, 7529, 7993, ...	(sucesión A152308 en OEIS)
9	397, 7867, 10243, 10333, 12853, 13789, 14149, 14293, 14563, 15643, 17659, 18379, 18541, 21277, 21997, 23059, 23203, 26731, 27739, 29179, 29683, 31771, 34147, 35461, 35803, 36541, 37747, 39979, ...	(sucesión A152309 en OEIS)
10	151, 241, 431, 641, 911, 3881, 4751, 4871, 5441, 5471, 5641, 5711, 6791, 6871, 8831, 9041, 9431, 10711, 12721, 13751, 14071, 14431, 14591, 15551, 16631, 16871, 17231, 17681, 17791, 18401, 19031, 19471, ...	(sucesión A152310 en OEIS)

Números primos largos en varias bases

Artin también conjeturó que:

Hay infinitos números primos largos en todas las bases excepto en las que son un cuadrado.
Los números primos largos en todas las bases excepto en las que son potencias perfectas y los números cuyas partes libres de cuadrados son congruentes con 1 módulo 4 comprenden el 37,395...% de todos los números primos (véase (sucesión A085397 en OEIS))

Base	Primos largos	Secuencia OEIS
−30	7, 41, 61, 83, 89, 107, 109, 127, 139, 173, 193, 197, 211, 227, 239, 281, 293, 311, 317, 331, 347, 349, 359, ...	(sucesión A105902 en OEIS)
−29	2, 17, 23, 41, 59, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 113, 137, 139, 167, 179, 199, 223, 227, 229, 239, 269, ...	(sucesión A105901 en OEIS)
−28	3, 5, 13, 17, 19, 31, 41, 47, 59, 73, 83, 89, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 181, 227, 229, 251, 257, 269, 283, ...	(sucesión A105900 en OEIS)
−27	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	(sucesión A105875 en OEIS)
−26	11, 23, 29, 41, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 127, 137, 157, 163, 173, 191, 193, 199, 227, 263, ...	(sucesión A105898 en OEIS)
−25	2, 3, 7, 11, 19, 23, 43, 47, 59, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 151, 167, 179, 223, 227, 239, 263, 283, 307, 311, ...	(sucesión A105897 en OEIS)
−24	13, 17, 19, 37, 41, 43, 47, 71, 89, 109, 113, 137, 139, 157, 163, 167, 181, 191, 211, 229, 233, 257, 263, 277, ...	(sucesión A105896 en OEIS)
−23	2, 5, 7, 17, 19, 43, 67, 83, 89, 97, 107, 113, 137, 149, 181, 191, 199, 227, 229, 251, 263, 281, 283, 293, 337, ...	(sucesión A105895 en OEIS)
−22	3, 5, 17, 37, 41, 53, 59, 151, 167, 179, 193, 233, 251, 263, 269, 271, 281, 317, 337, 359, 379, 389, 397, 409, ...	(sucesión A105894 en OEIS)
−21	2, 29, 47, 53, 59, 67, 83, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 167, 181, 197, 227, 233, 251, 281, 311, 313, ...	(sucesión A105893 en OEIS)
−20	11, 13, 17, 31, 37, 53, 59, 73, 79, 113, 131, 137, 139, 157, 173, 179, 191, 199, 211, 233, 239, 257, 271, 277, ...	(sucesión A105892 en OEIS)
−19	2, 3, 13, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 89, 103, 107, 113, 167, 173, 179, 193, 223, 227, 257, 269, 281, ...	(sucesión A105891 en OEIS)
−18	5, 7, 23, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 71, 101, 103, 109, 127, 149, 151, 157, 167, 173, 181, 191, 197, 223, 239, ...	(sucesión A105890 en OEIS)
−17	2, 5, 19, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 83, 97, 103, 113, 127, 151, 173, 179, 191, 193, 197, 233, 239, 251, 263, ...	(sucesión A105889 en OEIS)
−16	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	(sucesión A105876 en OEIS)
−15	2, 11, 13, 29, 37, 41, 43, 59, 71, 73, 89, 97, 101, 103, 127, 131, 149, 157, 163, 179, 191, 193, 239, 251, 269, ...	(sucesión A105887 en OEIS)
−14	11, 17, 29, 31, 43, 47, 53, 73, 89, 97, 107, 109, 149, 163, 167, 179, 199, 241, 257, 271, 277, 311, 313, 317, ...	(sucesión A105886 en OEIS)
−13	2, 3, 5, 23, 37, 41, 43, 73, 79, 89, 97, 107, 109, 127, 131, 137, 139, 149, 179, 191, 197, 199, 241, 251, 263, ...	(sucesión A105885 en OEIS)
−12	5, 17, 23, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 239, 251, 257, ...	(sucesión A105884 en OEIS)
−11	2, 7, 13, 17, 29, 41, 73, 79, 83, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173, 197, 227, 233, 239, 263, ...	(sucesión A105883 en OEIS)
−10	3, 17, 29, 31, 43, 61, 67, 71, 83, 97, 107, 109, 113, 149, 151, 163, 181, 191, 193, 199, 227, 229, 233, 257, ...	(sucesión A007348 en OEIS)
−9	2, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 107, 127, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, ...	(sucesión A105881 en OEIS)
−8	5, 23, 29, 47, 53, 71, 101, 149, 167, 173, 191, 197, 239, 263, 269, 293, 311, 317, 359, 383, 389, 461, 479, ...	(sucesión A105880 en OEIS)
−7	2, 3, 5, 13, 17, 31, 41, 47, 59, 61, 83, 89, 97, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 199, 227, 229, 241, 251, 257, ...	(sucesión A105879 en OEIS)
−6	13, 17, 19, 23, 41, 47, 61, 67, 71, 89, 109, 113, 137, 157, 167, 211, 229, 233, 257, 263, 277, 283, 331, 359, ...	(sucesión A105878 en OEIS)
−5	2, 11, 17, 19, 37, 53, 59, 73, 79, 97, 113, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 193, 197, 233, 239, 257, 277, ...	(sucesión A105877 en OEIS)
−4	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	(sucesión A105876 en OEIS)
−3	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	(sucesión A105875 en OEIS)
−2	5, 7, 13, 23, 29, 37, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 149, 167, 173, 181, 191, 197, 199, 239, 263, 269, 271, 293, ...	(sucesión A105874 en OEIS)
2	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, ...	(sucesión A001122 en OEIS)
3	2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, ...	(sucesión A019334 en OEIS)
4	(ninguno)
5	2, 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97, 103, 107, 113, 137, 157, 167, 173, 193, 197, 223, 227, 233, 257, ...	(sucesión A019335 en OEIS)
6	11, 13, 17, 41, 59, 61, 79, 83, 89, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 151, 157, 179, 199, 223, 227, 229, 233, ...	(sucesión A019336 en OEIS)
7	2, 5, 11, 13, 17, 23, 41, 61, 67, 71, 79, 89, 97, 101, 107, 127, 151, 163, 173, 179, 211, 229, 239, 241, 257, ...	(sucesión A019337 en OEIS)
8	3, 5, 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 149, 173, 179, 197, 227, 269, 293, 317, 347, 389, 419, 443, 461, 467, ...	(sucesión A019338 en OEIS)
9	2 (no otros)
10	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, ...	(sucesión A001913 en OEIS)
11	2, 3, 13, 17, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 101, 103, 109, 149, 163, 173, 179, 197, 223, 233, 251, 277, ...	(sucesión A019339 en OEIS)
12	5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, ...	(sucesión A019340 en OEIS)
13	2, 5, 11, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 109, 137, 149, 151, 167, 197, 227, 239, 241, 281, 293, ...	(sucesión A019341 en OEIS)
14	3, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 73, 83, 89, 97, 109, 127, 131, 149, 151, 227, 239, 241, 251, 257, 263, 277, 283, 307, ...	(sucesión A019342 en OEIS)
15	2, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 139, 149, 151, 157, 167, 193, 199, 227, 263, 269, 271, ...	(sucesión A019343 en OEIS)
16	(ninguno)
17	2, 3, 5, 7, 11, 23, 31, 37, 41, 61, 97, 107, 113, 131, 139, 167, 173, 193, 197, 211, 227, 233, 269, 277, 283, ...	(sucesión A019344 en OEIS)
18	5, 11, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 109, 139, 149, 157, 163, 173, 179, 181, 197, 227, 251, 269, ...	(sucesión A019345 en OEIS)
19	2, 7, 11, 13, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 83, 89, 113, 139, 163, 173, 191, 193, 239, 251, 257, 263, 269, 281, ...	(sucesión A019346 en OEIS)
20	3, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 103, 107, 113, 137, 157, 163, 167, 173, 223, 227, 233, 257, 263, 277, ...	(sucesión A019347 en OEIS)
21	2, 19, 23, 29, 31, 53, 71, 97, 103, 107, 113, 137, 139, 149, 157, 179, 181, 191, 197, 223, 233, 239, 263, 271, ...	(sucesión A019348 en OEIS)
22	5, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 71, 83, 107, 131, 139, 191, 193, 199, 211, 223, 227, 233, 269, 281, 283, 307, ...	(sucesión A019349 en OEIS)
23	2, 3, 5, 17, 47, 59, 89, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 167, 179, 181, 223, 229, 281, 293, 307, 311, 337, 347, ...	(sucesión A019350 en OEIS)
24	7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 59, 83, 89, 107, 109, 113, 137, 157, 179, 181, 223, 227, 229, 233, 251, 257, 277, ...	(sucesión A019351 en OEIS)
25	2 (no otros)
26	3, 7, 29, 41, 43, 47, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 107, 131, 137, 139, 157, 167, 173, 179, 193, 239, 251, 269, 271, ...	(sucesión A019352 en OEIS)
27	2, 5, 17, 29, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269, 281, 293, 317, 353, 389, 401, 449, 461, 509, ...	(sucesión A019353 en OEIS)
28	5, 11, 13, 17, 23, 41, 43, 67, 71, 73, 79, 89, 101, 107, 173, 179, 181, 191, 229, 257, 263, 269, 293, 313, 331, ...	(sucesión A019354 en OEIS)
29	2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 47, 73, 79, 89, 97, 101, 113, 127, 131, 137, 163, 191, 211, 229, 251, 263, 269, 293, ...	(sucesión A019355 en OEIS)
30	11, 23, 41, 43, 47, 59, 61, 79, 89, 109, 131, 151, 167, 173, 179, 193, 197, 199, 251, 263, 281, 293, 307, 317, ...	(sucesión A019356 en OEIS)

Los primos largos más pequeños en base n son:

2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 0, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 19, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 11, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 19, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 19, 2, 5, 2, 3, 2, 13, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 3, 2, 0, ... (sucesión A056619 en OEIS)

Véase también

Número decimal periódico

Referencias

↑ ^a ^b Dickson, Leonard E., 1952, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Public. Co.
↑ Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing". 2013. arΧiv:1312.3618.
↑ Kak, Subhash, Chatterjee, A. "On decimal sequences". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981.
↑ Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences". IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, pp. 803–809, 1985.

Bibliografía

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Conway, J. H. y Guy, R. K. El Libro de los Números. Nueva York: Springer-Verlag, 1996.
Francisco, Richard L.; "Pajares matemáticos: otra mirada a los números de Repunit"; en The College Mathematics Journal, vol. 19, núm. 3 (mayo de 1988), págs. 240–246.

Datos: Q3343095

[Dickson-1] Dickson, Leonard E., 1952, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Public. Co.

[2] Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing". 2013. arΧiv:1312.3618.

[3] Kak, Subhash, Chatterjee, A. "On decimal sequences". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981.

[4] Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences". IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, pp. 803–809, 1985.

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