Número primo mínimo (matemáticas recreativas)

En matemática recreativa, un número primo mínimo es un número primo para el que no hay una subsucesión más corta de sus dígitos en una base dada que forman un primo. En base 10 hay exactamente 26 números primos mínimos:

2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 (sucesión A071062 en OEIS).

Por ejemplo, 409 es un primo mínimo porque no hay ningún primo entre las subsecuencias de sus dígitos: 4, 0, 9, 40, 49, 09. La subsecuencia no tiene por qué constar de dígitos consecutivos, por lo que 109 no es un mínimo primo (porque 19 es primo). Pero tiene que estar en el mismo orden; así, por ejemplo, 991 sigue siendo un primo mínimo aunque un subconjunto de dígitos puede formar el primo más corto 19 cambiando el orden.

De manera similar, hay exactamente 32 números compuestos que no tienen una subsecuencia compuesta más corta:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 (sucesión A071070 en OEIS).

Hay 146 primos congruentes con 1 módulo 4 que no tienen primos más cortos congruentes con subsecuencias 1 módulo 4:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9049, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ... (sucesión A111055 en OEIS)

Hay 113 números primos congruentes con 3 mod 4 que no tienen primos más cortos congruentes con 3 mod 4 subsecuencia:

3, 7, 11, 19, 59, 251, 491, 499, 691, 991, 2099, 2699, 2999, 4051, 4451, 4651, 5051, 5651, 5851, 6299, 6451, 6551, 6899, 8291, 8699, 8951, 8999, 9551, 9851, ... (sucesión A111056 en OEIS)

Otras bases

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Los números primos mínimos se pueden generalizar a otras bases. Se puede demostrar que solo hay un número finito de primos mínimos en cada base. De manera equivalente, cada primo suficientemente largo contiene una subsecuencia más corta que forma un primo.

b Primos mínimos en base b (expresados en base b, las letras A,  B,  C, ... representan los valores 10, 11, 12, ...) Nº de
primos mínimos
en base b
1 11 1
2 10, 11 2
3 2, 10, 111 3
4 2, 3, 11 3
5 2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441 8
6 2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041 7
7 2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111 9
8 2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441 15
9 2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101 12
10 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 26
11 2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A906, 6A966, 90901, 99111, A0111, A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A0A96, 6A9099, 6A9909, 909991, 999901, A00009, A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 444441A, 4A11111, 4A40001, 6000A69, 6000A96, 6A00069, 9900991, 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9909006, A9990006, A9990606, A9999966, 40000A401, 44A444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669, A90000606, A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441 152
12 2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA000001 17

Los números primos mínimos en base 12 escritos en base 10 se enumeran en (sucesión A110600 en OEIS).

El número de primos mínimos (probables) en base n son:

1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280,[1]​ 50, 3463,[2]​ 651, 2601,[3]​ 1242, 6021, 306, (17608 o 17609),[4]​ 5664,[5]​ 17215,[6]​ 5784,[7]​ (57296 o 57297),[8]​ 220, ...

El número de dígitos del primo mínimo (probable) más grande en base n es 2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150), 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ...

Los primos mínimos (probables) más grandes en base n (escritos en base 10) son 2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (el siguiente término tiene 35670 dígitos) (sucesión A326609 en OEIS)

Número de compuestos mínimos en base n son

1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ...

La longitud del compuesto mínimo más grande en base n es

4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...

Referencias

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  1. ↑ Este valor es sólo una conjetura. Para la base 17, hay 1279 primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: F1{9}
  2. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para la base 19, hay 3462 primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: EE1{6}
  3. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para la base 21, hay 2600 primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: G{0}FK
  4. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para la base 25, hay 17597 primos mínimos (probables) conocidos y doce familias sin resolver, pero el primo más pequeño de una de estas familias (LO{L}8) puede o no ser un primo mínimo, ya que otra familia sin resolver es O{L}8
  5. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para la base 26, hay 5662 primos mínimos (probables) conocidos y dos familias sin resolver: {A}6F y {I}GL
  6. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para la base 27, hay 17210 primos mínimos (probables) conocidos y cinco familias sin resolver
  7. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para base 28, hay 5783 primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: O{A}F
  8. ↑ Este valor es solo una conjetura. Para la base 29, hay 57283 primos mínimos (probables) conocidos y catorce familias sin resolver, pero el primo más pequeño de una de estas familias ({F}OPF) puede o no ser un primo mínimo, ya que otra familia sin resolver es {F}OP

Bibliografía

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