Prueba M de Weierstrass

En matemáticas, la prueba M de Weierstrass o criterio mayorante de Weierstrass es un criterio para comprobar la convergencia uniforme de una serie de funciones de variable real o compleja.

Enunciado

Prueba M de Weierstrass Sea ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ una sucesión de funciones de variable real o compleja definidas en un conjunto ${\displaystyle A}$. Si para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ existe un ${\displaystyle M_{n}\geq 0}$ tal que ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}\,\forall x\in A}$ y la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}M_{n}}$ converge, entonces la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$ converge uniformemente en ${\displaystyle A}$.

Demostración

Para cada ${\displaystyle x\in A}$, la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}|f_{n}(x)|}$ converge, según el criterio de comparación. En consecuencia, ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}(x)}$ converge (absolutamente) para todo ${\displaystyle x\in A}$. Llamemos ${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(x)\,\forall x\in A}$ al límite puntual de la serie. Recordemos que para probar que la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$ converge uniformemente a ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle A}$ tenemos que probar que la sucesión de sumas parciales ${\displaystyle \{S_{n}\}=\{\sum _{i=1}^{n}f_{i}\}}$ (que en este caso es una sucesión de funciones) converge uniformemente a ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle A}$. Para esto podemos ver que la sucesión ${\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x)|:x\in A\}}$ converge a ${\displaystyle 0}$. Para cada ${\displaystyle x\in A}$, tenemos: ${\displaystyle \left|F(x)-S_{m}(x)\right|=\left|F(x)-\left(\sum _{i=1}^{m}f_{i}(x)\right)\right|=\left|\sum _{n=m+1}^{+\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}}$ Por tanto, ${\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x):x\in A\}\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}\rightarrow 0}$. Por tanto, ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$ converge uniformemente a ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle A}$.

Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se mantiene si el codominio de las funciones ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ es cualquier espacio de Banach, en cuyo caso la afirmación ${\displaystyle |f_{n}|\leq M_{n}}$ puede ser reemplazada por ${\displaystyle \|f_{n}\|\leq M_{n}}$, donde ${\displaystyle \|\cdot \|}$ es la norma definida en el espacio de Banach.

Véase también

• Límite de una sucesión
• Serie convergente

Referencias

• Marsden Jerrold, Hoffman Michael, Análisis clásico elemental, W.H Freeman and Company, 1993.
• Rudin, Walter (enero de 1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. 
• Rudin, Walter (mayo de 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. 
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.