Puente browniano

Un puente browniano es un proceso estocástico a tiempo continuo ${\displaystyle X_{t}}$ (en ocasiones denotado por ${\displaystyle B_{t}}$) construido a partir del proceso de Wiener (modelo matemático del movimiento browniano).

Puente Browniano Estándar

Definición

Un puente browniano estándar es un proceso estocástico a tiempo continuo${\displaystyle \{X_{t}:t\in [0,1]\}}$ con espacio de estados ${\displaystyle S=\mathbb {R} }$ que satisface

1. ${\displaystyle X_{0}=X_{1}=0}$.
2. ${\displaystyle \{X_{t}:t\in [0,1]\}}$ es un proceso Gaussiano.
3. ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}]=0}$ para ${\displaystyle t\in [0,1]}$.
4. ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\min\{s,t\}-st}$ para ${\displaystyle s,t\in [0,1]}$.

Construcción del puente browniano estándar

El puente browniano estándar se puede construir de distintas maneras a partir del proceso de Wiener considerando los siguientes teoremas:

Teorema

Sean ${\displaystyle \{W_{t}:t\geq 0\}}$ un proceso de Wiener estándar y ${\displaystyle X_{t}=W_{t}-tW_{1}}$ para ${\displaystyle t\in [0,1]}$ entonces el proceso estocástico ${\displaystyle \{X_{t}:t\in [0,1]\}}$ es un puente browniano.

Teorema

Sea ${\displaystyle \{W_{t}:t\geq 0\}}$ un proceso de Wiener estándar, se definen ${\displaystyle X_{1}=0}$ y

${\displaystyle X_{t}=(1-t)W\left({\frac {t}{1-t}}\right)}$

para ${\displaystyle t\in [0,1]}$ entonces ${\displaystyle \{X_{t}:t\in [0,1]\}}$ es un puente browniano.

Teorema

Sea ${\displaystyle \{W_{t}:t\geq 0\}}$ un proceso de Wiener estándar, se definen ${\displaystyle X_{1}=1}$ y

${\displaystyle X_{t}=(1-t)\int _{0}^{t}{\frac {1}{1-s}}dX_{t}}$

para ${\displaystyle t\in [0,1]}$ entonces ${\displaystyle \{X_{t}:t\in [0,1]\}}$ es un puente browniano, en forma diferencial, este proceso puede ser escrito como

${\displaystyle dX_{t}={\frac {X_{t}}{1-t}}dt+dX_{t}}$

con ${\displaystyle X_{0}=0}$.

Véase también

• Proceso estocástico
• Movimiento browniano
• Proceso de Wiener
• Movimiento browniano geométrico

Referencias

• Glasserman, Paul (2004). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuos Martingales and Brownian Motion (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.