Punto intermedio (triángulo)

El punto intermedio del triángulo M del triángulo de color negro, en el centro de su inelipse de Mandart (en color rojo). Las líneas azules a través del punto intermedio también pasan los correspondientes vértices del triángulo extratangente y por los puntos medios de los lados opuestos.

En geometría, el punto intermedio (también conocido por su nombre original en alemán, mittenpunkt) de un triángulo es uno de los elementos notables de un triángulo: un punto definido a partir del triángulo que es invariante bajo las transformaciones euclídeas del triángulo. Fue identificado en 1836 por Christian Heinrich von Nagel como el punto simediano de las circunferencias exinscritas del triángulo dado.^[1]​^[2]​

Coordenadas

El punto intermedio tiene coordenadas trilineales^[1]​

${\displaystyle (b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)}$

donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo dado. Expresado en cambio en términos de los ángulos A, B y C, las coordenadas trilineales son^[3]​

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C).}$

Las coordenadas baricéntricas son^[3]​

${\displaystyle a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).}$

Colinealidad

El punto intermedio se encuentra en la intersección de la línea que conecta el centroide y el punto de Gergonne y la línea que conecta el incentro y el punto simediano, estableciendo así dos colineales que incluyen el punto intermedio.^[4]​

Figuras relacionadas

Las tres líneas que conectan los excentros del triángulo dado con los puntos medios del lado correspondiente se encuentran en el punto intermedio; por lo tanto, es el centro de perspectiva del triángulo excentral y del triángulo mediano, con el correspondiente eje de perspectiva siendo el polar trilineal del punto de Gergonne.^[5]​ El punto intermedio es también el centroide de la inelipse de Mandart del triángulo dado, la elipse tangente al triángulo en su puntos extratangentes.^[6]​

Referencias

1. Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021, doi:10.2307/2690608 ..
2. v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig ..
3. http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers
4. Paul Yiu, "The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry" http://lya.fciencias.unam.mx/gfgf/ga20071/data/material/barycentricpaper.pdf Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
5. Eddy, Roland H. (1989), «A Desarguesian dual for Nagel's middlespoint», Elemente der Mathematik 44 (3): 79-80, MR 999636 ..
6. Gibert, Bernard (2004), «Generalized Mandart conics», Forum Geometricorum 4: 177-198, MR 2130231 ..

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Mittenpunkt». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.