Representación (matemáticas)

En matemáticas, una representación es una relación general que expresa similitudes (o equivalencias) entre objetos o estructuras matemáticas. En términos generales, una colección Y de objetos matemáticos representa otra colección X de objetos, siempre que las propiedades y relaciones existentes entre los objetos representativos y_i se conforman, de alguna manera consistente, a las que existen entre los correspondientes objetos representados x_i. Más específicamente, dado un conjunto Π de propiedades y relaciones, una Π-representación de alguna estructura X es una estructura Y que es la imagen de X bajo un homomorfismo que preserva Π. La etiqueta representación a veces también se aplica al propio homomorfismo (como el homomorfismo de grupo en la teoría de grupos ). ^[1]​ ^[2]​

Quizá el ejemplo mejor desarrollado de esta noción general sea el subcampo del álgebra abstracta llamado teoría de la representación, que estudia la representación de elementos de estructuras algebraicas mediante transformaciones lineales de espacios vectoriales.^[3]​

Otros ejemplos

Aunque el término teoría de la representación está bien establecido en el sentido algebraico analizado anteriormente, existen muchos otros usos del término representación en todas las matemáticas.

Teoría de grafos

Un área activa de la teoría de grafos es la exploración de isomorfismos entre grafos y otras estructuras. Una clase clave de tales problemas surge del hecho de que, al igual que la adyacencia en gráficos no dirigidos, la intersección de conjuntos (o, más precisamente, la no disjunción) es una relación simétrica. Esto da origen al estudio de gráficos de intersección para innumerables familias de conjuntos.^[4]​ Un resultado fundamental, debido a Paul Erdős y sus colegas, es que cada gráfico de n vértices se puede represent en términos de intersecciónes entre subconjuntos de un conjunto de tamaño no mayor que n²/4.^[5]​

Representar a un gráfico mediante estructuras algebraicas como su matriz de adyacencia y la matriz laplaciana da lugar al campo de la teoría de grafos espectrales.^[6]​

Teoría del orden

Dual a la observación anterior de que cada gráfico es un gráfico de intersección es el hecho de que cada conjunto parcialmente ordenado (también conocido como poset) es isomorfo a una colección de conjuntos ordenados por la relación de inclusión (o contención) ⊆. Algunos posets que surgen como órdenes de inclusión para clases naturales de objetos incluyen las redes booleanas y los órdenes de dimensión n . ^[7]​

Muchos órdenes parciales surgen de (y, por tanto, pueden ser representado mediante) colecciones de objetos geométricos. Entre ellos se encuentran las órdenes de n-esfera. Los órdenes de 1-bola son las órdenes de contención de intervalo, y las órdenes de 2-bolas son los llamados órdenes circulares, los posets representables en términos de contención entre discos en el plano. Un resultado particularmente bello en este campo es la caracterización de los gráficos planos, como aquellos gráficos cuyas relaciones de incidencia vértice-arista son de orden circular.^[8]​

También hay representaciones geométricas que no se basan en la inclusión. De hecho, una de las clases mejor estudiadas son los órdenes de intervalo, ^[9]​ que representan el orden parcial en términos de lo que podría llam precedencia disjunta de intervalos en la recta real: cada elemento x del poset está representado por un intervalo [x₁, x₂], de modo que para cualquier y y z en el poset, y está por debajo de z si y solo si y₂ < z₁.

Lógica

En lógica, la representabilidad de las álgebras como estructuras relacionales se utiliza a menudo para demostrar la equivalencia de la semántica algebraica y relacional . Ejemplos de esto incluyen la representación de Stone de álgebras de Boole como campos de conjuntos,^[10]​ la representación de Esakia de álgebras de Heyting como álgebras de Heyting de conjuntos,^[11]​ y el estudio de álgebras de relaciones representables y álgebras cilíndricas representables. ^[12]​

Polisemia

En determinadas circunstancias, una sola función f : X → Y es a la vez un isomorfismo de varias estructuras matemáticas en X . Dado que cada una de esas estructuras puede considerdo, intuitivamente, como un significado de la imagen Y (una de las cosas que Y intenta decirnos), este fenómeno se llama polisemia, un término tomado de la lingüística. Algunos ejemplos de polisemia incluyen:

• Polisemia de intersección: pares de gráficos G₁ y G₂ en un conjunto de vértices común V pueden ser representado simultáneamente por una única colección de conjuntos S_v, de manera que cualquier vértice distinto u y w en V son adyacentes en G₁, si y sólo si sus conjuntos correspondientes se cruzan (S_u ∩ S_w ≠ Ø), y son adyacentes en G₂ si y solo si los complementos lo hacen (S_u^C ∩ S_w^C ≠ Ø).^[13]​

• Polisemia de competencia: motivada por el estudio de las redes alimentarias ecológicas, en las que pares de especies pueden tener presas en común o tener depredadores en común. Un par de gráficos G₁ y G₂ en un conjunto de vértices es polisémico de competencia, si y sólo si existe un único gráfico dirigido D en el mismo conjunto de vértices, tal que cualquier vértice distinto u y v sean adyacentes en G_1, si y sólo si hay un vértice w tal que tanto uw y vw sean arcos en D y sean adyacentes en G _2, si y sólo si hay un vértice w tal que tanto wu como wv sean arcos en D.^[14]​

• Polisemia de intervalos : pares de posets P₁ y P₂ en un conjunto común que puede ser representado simultáneamente mediante una única colección de intervalos reales, cual es una representación de orden de intervalo de P₁ y una representación de contención de intervalo de P₂.^[15]​

Véase también

• Representación del grupo
• Teoremas de representación
• Teoría de modelos

Referencias

1. Weisstein, Eric W.. «Group Representation». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 7 de diciembre de 2019. 
2. Teleman, Constantin. «Representation Theory». math.berkeley.edu. Consultado el 7 de diciembre de 2019. 
3. Teleman, Constantin. «Representation Theory». math.berkeley.edu. Consultado el 7 de diciembre de 2019. 
4. McKee, Terry A.; McMorris, F. R. (1999), Topics in Intersection Graph Theory, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-430-2, doi:10.1137/1.9780898719802 .
5. Erdős, Paul; Goodman, A. W.; Pósa, Louis (1966), «The representation of a graph by set intersections», Canadian Journal of Mathematics 18 (1): 106-112, doi:10.4153/cjm-1966-014-3 .
6. Biggs, Norman (1994), Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45897-9 .
7. Trotter, William T. (1992), Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, Baltimore: The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-4425-6 .
8. Scheinerman, Edward (1991), «A note on planar graphs and circle orders», SIAM Journal on Discrete Mathematics 4 (3): 448-451, doi:10.1137/0404040 .
9. Fishburn, Peter C. (1985), Interval Orders and Interval Graphs: A Study of Partially Ordered Sets, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-81284-5 .
10. Marshall H. Stone (1936) "The Theory of Representations of Boolean Algebras," Transactions of the American Mathematical Society 40: 37-111.
11. Esakia, Leo (1974). «Topological Kripke models». Soviet Math 15 (1): 147-151. 
12. Hirsch, R.; Hodkinson, I. (2002). Relation Algebra by Games. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 147. Elsevier Science. 
13. Tanenbaum, Paul J. (1999), «Simultaneous intersection representation of pairs of graphs», Journal of Graph Theory 32 (2): 171-190, doi:10.1002/(SICI)1097-0118(199910)32:2<171::AID-JGT7>3.0.CO;2-N .
14. Fischermann, Miranca; Knoben, Werner; Kremer, Dirk; Rautenbachh, Dieter (2004), «Competition polysemy», Discrete Mathematics 282 (1–3): 251-255, doi:10.1016/j.disc.2003.11.014 .
15. Tanenbaum, Paul J. (1996), «Simultaneous representation of interval and interval-containment orders», Order 13 (4): 339-350, doi:10.1007/BF00405593 .