Serie de Bell

En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética ${\displaystyle f}$ y un número primo ${\displaystyle p}$, se define la serie de potencias formal ${\displaystyle f_{p}(x)}$, llamada serie de Bell de ${\displaystyle f}$ módulo ${\displaystyle p}$ como:

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$, se tiene que ${\displaystyle f=g}$ si y sólo si:

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$ para todos los primos ${\displaystyle p}$.

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$, sea ${\displaystyle h=f*g}$ su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo ${\displaystyle p}$, se tiene que:

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si ${\displaystyle f}$ es completamente multiplicativa, entonces:

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

Ejemplos

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.

• La función de Möbius ${\displaystyle \mu }$ tiene ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• Función φ de Euler ${\displaystyle \varphi }$ tiene ${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet ${\displaystyle \delta }$ tiene ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1.}$
• La función de Liouville ${\displaystyle \lambda }$ tiene ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• La función potencia Id_k tiene ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ Aquí, Id_k es la función completamente multiplicativa ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$.
• La función divisor ${\displaystyle \sigma _{k}}$ tiene ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.}$

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 .