Cada uno de los cuadrados púrpuras tiene 1/4 del área del cuadrado anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados púrpuras es 1/3 del área de todo el cuadrado grande. En matemáticas , una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tiene una razón constante entre sus términos sucesivos. Por ejemplo, la serie
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }
es geométrica porque cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
En general, una serie geométrica es escrita como
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots }
donde
a
{\displaystyle a}
r
{\displaystyle r}
Las series geométricas son las series infinitas más simples y pueden ser utilizadas como una introducción básica a las series de Taylor y series de Fourier .
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica , es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común
r
{\displaystyle r}
Si
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1\ }
Si
|
r
|
>
1
{\displaystyle |r|>1\ }
Ilustración de una suma autosimilar . La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Para
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
S
n
+
1
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
(
1
−
r
n
+
1
1
−
r
)
{\displaystyle S_{n+1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)}
donde
r
{\displaystyle r}
Cuando
a
=
1
{\displaystyle a=1}
∑
k
=
0
n
r
k
=
1
−
r
n
+
1
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}r^{k}={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}
Sea
S
n
+
1
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
{\displaystyle S_{n+1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}}
si multiplicamos ambos lados de la igualdad por
r
{\displaystyle r}
r
S
n
+
1
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
+
a
r
n
+
1
{\displaystyle rS_{n+1}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}+ar^{n+1}}
realizando
S
n
+
1
−
r
S
n
+
1
{\displaystyle S_{n+1}-rS_{n+1}}
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
−
a
r
−
a
r
2
−
a
r
3
−
⋯
−
a
r
n
−
a
r
n
+
1
a
−
a
r
n
+
1
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}a&+&ar&+&ar^{2}&+&ar^{3}&+&\cdots &+&ar^{n}\\&-&ar&-&ar^{2}&-&ar^{3}&-&\cdots &-&ar^{n}&-&ar^{n+1}\\\hline a&&&&&&&&&&&-&ar^{n+1}\end{array}}}
por lo que
S
n
+
1
−
r
S
n
+
1
=
a
−
a
r
n
+
1
S
n
+
1
(
1
−
r
)
=
a
(
1
−
r
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+1}-rS_{n+1}&=a-ar^{n+1}\\S_{n+1}(1-r)&=a\left(1-r^{n+1}\right)\end{aligned}}}
como
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
S
n
+
1
=
a
(
1
−
r
n
+
1
1
−
r
)
.
{\displaystyle S_{n+1}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right).}
De esta manera:
S
n
=
a
(
1
−
r
n
1
−
r
)
.
{\displaystyle S_{n}=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right).}
Dada la serie
s
=
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
⋯
{\displaystyle s=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }
La razón es
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
=
9
{\displaystyle n=9}
s
10
=
1
(
1
−
1
2
10
1
−
1
2
)
=
1
−
1
1024
1
−
1
2
=
1023
1024
1
2
=
2046
1024
=
1023
512
=
1.998046875
{\displaystyle s_{10}=1\left({\frac {1-{\frac {1}{2}}^{10}}{1-{\frac {1}{2}}}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{1024}}}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {\frac {1023}{1024}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2046}{1024}}={\frac {1023}{512}}=1.998046875}
Sean
a
,
r
∈
R
{\displaystyle a,r\in \mathbb {R} }
∑
k
=
0
∞
a
r
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}}
converge y su suma es
a
1
−
r
{\displaystyle {\frac {a}{1-r}}}
si
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
Notemos que
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
a
+
∑
k
=
1
∞
a
r
k
=
a
+
r
∑
k
=
0
∞
a
r
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&=a+\sum _{k=1}^{\infty }ar^{k}\\&=a+r\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}\end{aligned}}}
despejando de la ecuación anterior
∑
k
≥
0
a
r
k
{\textstyle \sum _{k\geq 0}ar^{k}}
∑
k
=
0
∞
a
r
k
−
r
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
a
∑
k
=
0
∞
a
r
k
(
1
−
r
)
=
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}-r\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&=a\\\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}(1-r)&=a\end{aligned}}}
como
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
a
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}}
En particular cuando
a
=
1
{\displaystyle a=1}
∑
k
=
0
∞
r
k
=
1
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{1-r}}}
Dada la serie:
s
=
1
+
2
3
+
4
9
+
8
27
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
(
2
3
)
k
{\displaystyle {\begin{aligned}s&=1+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{9}}+{\frac {8}{27}}+\cdots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{k}\end{aligned}}}
La razón de esta serie es
r
=
2
3
<
1
{\textstyle r={\frac {2}{3}}<1}
s
=
1
1
−
2
3
=
1
1
3
=
3
{\displaystyle s={\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}={\frac {1}{\frac {1}{3}}}=3}
por lo que
s
=
3
{\displaystyle s=3\ }
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