Serie telescópica

En matemáticas, una serie telescópica es aquella serie cuyas sumas parciales poseen un número fijo de términos tras su cancelación.^[1]​^[2]​

${\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,}$

Un ejemplo típico de serie telescópica es la serie de Mengoli, que se define

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

y puede calcularse según^[3]​

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

En general

Sea ${\displaystyle a_{n}}$ una secuencia de números. Entonces,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=a_{1}-a_{N+1},}$

y, si ${\displaystyle a_{N+1}\rightarrow 0}$,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=a_{1}.}$

Excepciones

Aunque las series telescópicas pueden resultar una técnica útil, hay algunos inconvenientes con los que cabe contar. El procedimiento

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=\sum _{n=1}^{\infty }1-\sum _{n=1}^{\infty }1=0\,}$

no es correcto porque esta forma de reagrupar los términos solo es válida si los términos por separado convergen a 0. El modo de evitar este error es, en primer lugar, encontrar la suma de los N primeros términos y, en segundo lugar, aplicar el límite con N aproximándose al infinito.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{N+1}}\to 1\ \mathrm {cuando} \ N\to \infty .\end{aligned}}}$

Ejemplos

• Muchas funciones trigonométricas pueden representarse como una diferencia, lo que permite la cancelación entre términos consecutivos en la serie telescópica.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {sen} \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\operatorname {sen} \left({\frac {1}{2}}\right)\operatorname {sen} \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

• Algunas sumas de la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)},}$

donde f y g son funciones polinómicas cuyo cociente puede separarse en fracciones parciales, no admiten sumar por este método. En particular, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\&{}=\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\&{}=\infty .\end{aligned}}}$

El problema está en que los términos no se cancelan.

• Sea k un entero positivo. Entonces,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}},}$

donde H_k es el k-ésimo número armónico. Todos los términos después de 1/(k − 1) se cancelan.

Véase también

• Serie de Grandi
• Serie de los inversos de los números primos
• Teorema del punto fijo de Lefschetz
• Homología (matemática)
• Teorema fundamental del cálculo

Referencias

1. Apostol, Tom M. (1979). Cálculo (en portugués). Río de Janeiro: Reverté. pp. 447-449. ISBN 9788429150155. Consultado el 28 de diciembre de 2014. 
2. Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis. CreateSpace. p. 85. ISBN 9781438248509. 
3. Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Oregón (1996). «Telescoping Series» (en inglés). Consultado el 30 de diciembre de 2014. 

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Telescoping series» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 28 de diciembre de 2014, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.