Teorema de Cartan–Hadamard

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En matemáticas, el teorema de Cartan–Hadamard es un enunciado en geometría riemanniana tocante a la estructura de variedades riemannianas completas de curvatura seccional no positiva. El teorema dice que el recubridor universal de una tal variedad es difeomorfo a un espacio euclídeo por medio de la aplicación exponencial en cualquier punto. Fue demostrado por primera vez por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superficies en 1881, e independientemente por Jacques Hadamard en 1898. Élie Cartan generalizó el teorema a variedades riemannianas en 1928 (Helgason, 1978;do Carmo, 1992;Kobayashi y Nomizu, 1969). El teorema fue generalizado aún más, a una amplia clase de espacios métricos por Mijaíl Grómov en 1987; pruebas detalladas fueron publicadas por Ballmann (1990) para espacios métricos de curvatura no positiva y por Alexander y Bishop (1990) para espacios métricos localmente convexos generales.

Geometría riemanniana

El teorema de Cartan–Hadamard en geometría riemanniana convencional afirma que el espacio recubridor universal de una variedad riemanniana completa conexa de curvatura seccional no positiva es difeomorfo a Rⁿ. De hecho, para variedades completas de curvatura no positiva, la aplicación exponencial basada en cualquier punto de la variedad es una aplicación recubridora.

El teorema se cumple también para variedades de Hilbert en el sentido de que la aplicación exponencial de una variedad conexa, geodésicamente completa, de curvatura no positiva, es una aplicación recubridora (McAlpin, 1965;Lang, 1999, IX, §3). La completitud aquí se entiende en el sentido de que la aplicación exponencial está definida en todo el espacio tangente de un punto.

Geometría métrica

En geometría métrica, el teorema de Cartan–Hadamard es el enunciado de que el recubridor universal de un espacio métrico completo, conexo, de curvatura no positiva, X es un espacio de Hadamard. En particular, si X es simplemente conexo, entonces es un espacio geodésico en el sentido de que dos puntos cualesquiera están conectados por una única geodésica minimizante, y por tanto es contráctil.

Un espacio métrico X se dice que es de curvatura no positiva si todo punto p tiene un entorno U en el cual dos puntos cualesquiera están unidos por una geodésica, y para cualquier punto z en U y geodésica de velocidad constante γ en U se tiene

${\displaystyle d(z,\gamma (1/2))^{2}\leq {\frac {1}{2}}d(z,\gamma (0))^{2}+{\frac {1}{2}}d(z,\gamma (1))^{2}-{\frac {1}{4}}d(\gamma (0),\gamma (1))^{2}.}$

Puede ser útil considerar esta desigualdad en términos de un triángulo geodésico Δ = zγ(0)γ(1). El término izquierdo es el cuadrado de la distancia del vértice z al punto medio del lado opuesto. El lado derecho representa el cuadrado de la distancia del vértice al punto medio del lado opuesto en un triángulo euclídeo con las mismas longitudes de lados que Δ. Esta condición, llamada la condición CAT(0), es una forma abstracta del teorema de comparación de triángulos de Toponogov.

Generalización a espacios localmente convexos

La suposición de curvatura no positiva se puede debilitar (Alexander y Bishop, 1990), aunque con una conclusión correspondientemente más débil. Llamemos a un espacio métrico X convexo si, para dos geodésicas minimizantes de velocidad constante cualesquiera a(t) y b(t), la función

${\displaystyle t\mapsto d(a(t),b(t))}$

es una función convexa de t. Un espacio se dice localmente convexo si todo punto tiene un entorno que es convexo en este sentido. El teorema de Cartan-Hadamard para espacios localmente convexos dice:

• Si X es un espacio métrico conexo, completo, localmente convexo, entonces el recubridor universal de X es un espacio geodésico convexo con respecto a la métrica de longitud inducida d.

En particular, el recubridor universal de un espacio tal es contráctil. La convexidad de la función distancia a lo largo de un par de geodésicas es una conocida consecuencia de la curvatura no positiva de un espacio métrico, pero no es equivalente (Ballmann, 1990).

Importancia

El teorema de Cartan–Hadamard da un ejemplo de una correspondencia entre lo local y lo global en la geometría riemanniana y la geometría métrica: a saber, una condición local (curvatura no positiva) y una condición global (conexión simple) juntas implican una propiedad global fuerte (contractilidad), o, en el caso riemanniano, difeomorfismo con Rⁿ.

La forma métrica del teorema demuestra que un complejo celular poliédrico con curvatura no positiva es asférico. Este hecho es de importancia crucial para la teoría geométrica de grupos moderna.

Véase también

• Anexo:Glosario de la geometría de Riemann
• Variedad de Cartan–Hadamard
• Conjetura de Cartan–Hadamard

Referencias

• McAlpin, John (1965), «Infinite dimensional manifolds and Morse theory», Thesis (Columbia University) ..
• Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. (1990), «The Hadamard-Cartan theorem in locally convex metric spaces», Enseign. Math., Series 2 36 (3–4): 309-320 ..
• Ballmann, Werner (1990). «Singular Spaces of Non-Positive Curvature». En Ghys, E.; de la Harpe, P., eds. Sur les Groupes Hyperboliques d’après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics 83. Boston, MA: Birkhäuser. 
• Ballmann, Werner (1995), Lectures on spaces of nonpositive curvature, DMV Seminar 25, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. viii+112, ISBN 3-7643-5242-6, MR 1377265 ..
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319, Berlin: Springer-Verlag, pp. xxii+643, ISBN 3-540-64324-9, MR 1744486 ..
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992), Riemannian geometry, Mathematics: theory and applications, Boston: Birkhäuser, pp. xvi+300, ISBN 0-8176-3490-8 ..
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969), Foundations of Differential Geometry, Vol. II, Tracts in Mathematics 15, New York: Wiley Interscience, pp. xvi+470, ISBN 0-470-49648-7 ..
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Pure and Applied Mathematics 80, New York: Academic Press, pp. xvi+628, ISBN 0-12-338460-5 ..
• Lang, Serge (1999), Fundamentals of differential geometry, Graduate Texts in Mathematics 191, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98593-0, MR 1666820 ..