Teorema de Le Cam

En la teoría de la probabilidad, el teorema de Le Cam, que lleva el nombre de Lucien le Cam (1924 - 2000), establece lo siguiente.^[1]​^[2]​^[3]​

Supóngase que:

• X₁, ..., X_n son variables aleatorias independientes, cada una de ellas con una distribución de Bernoulli (es decir, igual a 0 o 1), no necesariamente distribuidas idénticamente.
• Pr(X_i = 1) = p_i para i = 1, 2, 3, ...
• ${\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}$
• ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$ (es decir, ${\displaystyle S_{n}}$ sigue una distribución binomial de Poisson)

Entonces:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.}$

En otras palabras, la suma sigue aproximadamente una distribución de Poisson y la desigualdad anterior limita el error de aproximación en términos de la distancia de variación total.

Al establecer p_i = λ_n/n, vemos que esto generaliza el teorema del límite de Poisson habitual.

Cuando ${\displaystyle \lambda _{n}}$ es grande, es posible un mejor límite: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n})\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.}$^[4]​

También es posible debilitar el requisito de independencia.^[4]​

Referencias

1. Le Cam, L. (1960). «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution». Pacific Journal of Mathematics 10 (4): 1181-1197. MR 0142174. Zbl 0118.33601. doi:10.2140/pjm.1960.10.1181. 
2. Le Cam, L. (1963). «On the Distribution of Sums of Independent Random Variables». En Jerzy Neyman; Lucien le Cam, eds. Bernoulli, Bayes, Laplace: Proceedings of an International Research Seminar. New York: Springer-Verlag. pp. 179-202. MR 0199871. 
3. Steele, J. M. (1994). «Le Cam's Inequality and Poisson Approximations». The American Mathematical Monthly 101 (1): 48-54. JSTOR 2325124. doi:10.2307/2325124. 
4. den Hollander, Frank. Probability Theory: the Coupling Method. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Le Cam's Inequality». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.