Teorema de Sard

El teorema de Sard, también conocido como lema de Sard o teorema de Morse-Sard, es un resultado de Análisis matemático que afirma que la imagen del conjunto de puntos críticos de una función continuamente diferenciable ${\displaystyle f}$ de un espacio euclídeo o variedad a otro tiene medida de Lebesgue 0 (es decir, el conjunto de valores críticos es de medida nula). Esto hace que sea "pequeño" en el sentido de una propiedad genérica: un valor "genérico" del codominio es regular.

Enunciado

Más explícitamente (Sternberg (1964, Theorem II.3.1);Sard (1942)), sea

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

una aplicación de clase ${\displaystyle C^{k}}$, (i.e., ${\displaystyle k}$ veces continuamente diferenciable), donde ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. Sea ${\displaystyle X}$ el conjunto de puntos críticos de ${\displaystyle f,}$ el cual es el conjunto de puntos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ en los cuales la Matriz Jacobiana de ${\displaystyle f}$ tiene rango menor que ${\displaystyle m}$. Entonces la imagen ${\displaystyle f(X)}$ tiene medida de Lebesgue 0 en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Interpretación

Intuitivamente hablando, esto significa que aunque ${\displaystyle X}$ pueda ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la Medida de Lebesgue: mientras que ${\displaystyle f}$ puede tener muchos puntos críticos en el dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, debe tener pocos valores críticos en la imagen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

De manera más general, el resultado también es válido para aplicaciones entre variedades diferenciables ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle N}$ de dimensiones ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$, respectivamente. El conjunto crítico ${\displaystyle X}$ de una función ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

consiste en aquellos puntos en los que el diferencial

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

tiene rango menor que ${\displaystyle m}$ como aplicación lineal (es decir, no es sobreyectivo). Si ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$, entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de ${\displaystyle X}$ tiene medida cero como subconjunto de ${\displaystyle M}$. Esta formulación del resultado se deduce de la versión para espacios euclídeos mediante la adopción de un conjunto numerable de parches coordenados. La conclusión del teorema es una declaración local, ya que una unión numerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de tener medida cero un subconjunto de un parche coordenado es invariante bajo difeomorfismos.

Referencias

• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on differential geometry, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, pp. xv+390, MR 0193578, Zbl 0129.13102 ..
• Morse, Anthony P. (enero de 1939), «The behaviour of a function on its critical set», Annals of Mathematics 40 (1): 62-70, JSTOR 1968544, MR 1503449, doi:10.2307/1968544 ..
• Sard, Arthur (1942), «The measure of the critical values of differentiable maps», Bulletin of the American Mathematical Society 48 (12): 883-890, MR 0007523, Zbl 0063.06720, doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 ..
• Sard, Arthur (1965), «Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds», American Journal of Mathematics 87 (1): 158-174, JSTOR 2373229, MR 0173748, Zbl 0137.42501, doi:10.2307/2373229 . and also Sard, Arthur (1965), «Errata to Hausdorff measures of critical images on Banach manifolds», American Journal of Mathematics 87 (3): 158-174, JSTOR 2373074, MR 0180649, Zbl 0137.42501, doi:10.2307/2373229 ..
• Smale, Stephen (1965), «An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem», American Journal of Mathematics 87 (4): 861-866, JSTOR 2373250, MR 0185604, Zbl 0143.35301, doi:10.2307/2373250 ..