Teorema de Weierstrass

Representación gráfica del teorema

El teorema de Weierstraß es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo.

También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos.

Teorema de Weierstraß

Teorema de Weierstraß Si una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ es continua en un intervalo cerrado y acotado ${\displaystyle [a,b]}$, entonces ${\displaystyle f}$ alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ tales que ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})}$ para cualquier ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Demostración del Teorema de Weierstraß

Como ${\displaystyle f([a,b])}$ está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Como M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Esto genera una sucesión {dn} según vamos dando valores naturales a n. Como M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M. Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstraß nos dice que existe una subsucesión {${\displaystyle d_{n_{k}}}$}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Como f es continua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f(${\displaystyle d_{n_{k}}}$)} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo. La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a esta. ∎

Generalizaciones del teorema de Weierstraß

El teorema de Weierstraß se puede generalizar a aplicaciones continuas entre espacio topológicos.

Teorema de Weierstraß (generalización) Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),(Y,{\mathcal {T}}')}$ espacios topológicos y ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {T}})\to (Y,{\mathcal {T}}')}$ una aplicación continua. Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ es compacto, entonces ${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$ también es compacto.

Gracias al Teorema de Heine-Borel, se puede formular el teorema anterior para funciones continuas entre un espacio topológico y un espacio normado:

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espacio topológico, ${\displaystyle K\subseteq X}$ un conjunto compacto y ${\displaystyle (V,||\cdot ||)}$ un espacio vectorial normado.

Si ${\displaystyle f:K\to V}$ es una aplicación continua, entonces existen ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K}$ tales que ${\displaystyle ||f(x_{1})||\leq ||f(x)||\leq ||f(x_{2})||}$ para cualquier ${\displaystyle x\in K}$.

En concreto, si ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$:

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espacio topológico y ${\displaystyle K\subseteq X}$ un conjunto compacto.

Si ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ es una función continua, entonces existen ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K}$ tales que ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})}$ para cualquier ${\displaystyle x\in K}$.

Véase también

• Teorema de Rolle

Enlaces externos

• Extreme Value Theorem en PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. «Extreme Value Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.