Teorema geométrico de Euler

${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

En geometría, el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, cumple la relación siguiente:^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}$

o de forma equivalente

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$

donde R y r denotan el circunradio y el inradio (los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita respectivamente).

El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767,^[5]​ aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746.^[6]​

Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:^[2]​^[3]​

${\displaystyle R\geq 2r,}$

que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo equilátero.^[7]​^{: p. 198}

Demostración

File:GeometryEulerTheorem.png

Demostración del Teorema Geométrico de Euler

Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC. Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL. En consecuencia, 2Rr = AI × BL. Únase BI. Debido a que

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr. Extendiendo OI de modo que cruce la circunferencia circunscrita en P y Q; entonces PI × QI = AI × IL = 2Rr, así que (R + d)(R − d) = 2Rr, entonces d² = R(R - 2r).

Versión fuerte de la desigualdad

Una versión más fuerte es^[7]​^{: p. 198}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

Véase también

• Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos.
• Teorema de clausura de Poncelet, mostrando que hay una infinidad de triángulos con el mismo R, r, y d.
• Anexo:Desigualdades del triángulo

Referencias

1. Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., p. 186 ..
2. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions 36, Mathematical Association of America, p. 56, ISBN 9780883853429 ..
3. Debnath, Lokenath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, p. 124, ISBN 9781848165250 ..
4. Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series 2, Mathematical Association of America, p. 300, ISBN 9780883855584 ..
5. Euler, Leonhard (1767), «Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum», Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (en latin) 11: 103-123 ..
6. Chapple, William (1746), «An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles», Miscellanea Curiosa Mathematica 4: 117-124 ..
7. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), «Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities», Forum Geometricorum 12: 197-209 ..