Trinomio

En álgebra, un trinomio es una expresión algebraicas de únicamente tres monomios, sumados o restados.^[1]​

Ejemplos de trinomios

1. ${\displaystyle 3x+5y-8z}$ con ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ variables.
2. ${\displaystyle 3t-9s^{2}+3y^{3}}$ con ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle y}$ variables.
3. ${\displaystyle Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}}$ con ${\displaystyle x}$ variable, las constantes ${\displaystyle a,b,c}$ son enteros positivos y ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$ constantes arbitrarias.
4. ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$, trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo.
5. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, de tres variables.

Casos diversos

Trinomio cuadrado perfecto

Visualización de la fórmula para un cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Trinomio irreducible

• Un trinomio es irreducible en ℚ si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como ${\displaystyle x^{2}+4x+1}$
• Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales así como ${\displaystyle x^{2}+x+1}$^[2]​

Trinomio de segundo grado en una variable

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.^{[cita requerida]} Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibniz, en la época moderna.

Ejemplos

Sea:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!}$

Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de ${\displaystyle x\,\!}$, resulta que:

${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!}$

Y podemos darnos cuenta de:

${\displaystyle 9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 4y^{2}=(2y)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 12xy=2(3x)(2y)\,\!}$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9x^{2}}}+{\sqrt {4y^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!}$

Sea:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z\,\!}$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia (${\displaystyle y}$) tenemos:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}\,\!}$

evaluando el trinomio, vemos que:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)^{2}\,\!}$

y

${\displaystyle w^{2}=(w)^{2}\,\!}$

por último, vemos que

${\displaystyle 2\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)(w)=wy^{2}z\,\!}$

Entonces, la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio de grado par de una variable

estos trinomios son de la forma:

${\displaystyle mx^{2p}+nx^{p}+l}$ donde m, n, l son constantes y p es un entero positivo.

Ejemplos

1. ${\displaystyle 5x^{4}-3x^{2}-1/4}$, origina una ecuación llamada bicuadrada
2. ${\displaystyle -15t^{12}-3/4t^{6}-13/25}$ un trinomio de duodécimo grado^[3]​

Trinomios usuales

1. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ que igualado a 0 , se conoce como la ecuación general de segundo grado en una variable
2. ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ si se hace igual a 0 origina la forma reducida de una ecuación de segundo grado
3. ${\displaystyle y^{3}+py+q}$ igualando a 0, origina la ecuación cúbica reducida de una variable, a la que se puede aplicar la fórmula de Cardano.^[4]​
4. ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ sus ceros son las raíces cúbicas no reales de 1.^[5]​
5. ${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1}$= ${\displaystyle (x^{2}+x+1)\times (x^{2}-x+1)}$. Sus ceros son la raíces cúbicas no reales de 1 y -1, respectivamente.

Aplicaciones

• Los trinomios factorizables en binomios lineales se usan en operaciones con fracciones algebraicas y al calcular el MCM y MCD de expresiones algebraicas enteras^[6]​
• En la descomposición en fracciones parciales, aparecen binomios lineales y trinomios cuadráticos;

Por ejemplo ${\displaystyle {\frac {2x+1}{x^{3}-1}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}}$^[7]​

Véase también

• Productos notables
• Factorización
• Completar el cuadrado

Referencias

1. Diccionario visual de matemáticas Archivado el 14 de marzo de 2018 en Wayback Machine..
2. Matemáticas universitarias de Britton y otro
3. Aparecen como el primer miembro de la forma canónica de las ecuaciones trinomias de grado par.
4. Nomenclatura que aparece en libros de Álgebra superior
5. Elementos de Trigonometría de Bruño
6. Véase Álgebra de Aurelio Baldor, varias ediciones
7. N. Piskunov: Cálculo diferencial e integral tomoi I Editorial Mir Moscú (1983)