Bode diagramm

Bode diagramm ehk logaritmiline amplituudi-faasi sageduskarakteristik on graafik, mis on laialdaselt kasutusel juhtimissüsteemide disainimises, et veenduda lineaarse nihkeinvariantse süsteemi stabiilsuses. See võimaldab kujutada süsteemi ülekandefunktsiooni graafiliselt, et saada kiire ülevaade süsteemi omadustest eri sagedustel.

Bode'i diagramm koosneb kahest graafikust: Bode'i võimenduse graafik ja Bode'i faasi graafik. Graafikute x-teljel on sagedus. Võimenduse graafiku y-telg on logaritmilisel skaalal detsibellides ning kujutab süsteemi võimendust väljundi ja sisendi vahel. Faasigraafikul kujutatakse y-teljel faasinihet kraadides.^[1][2]

Amplituudivaru

Amplituudivaru (ingl gain margin) on arv detsibellides, mille võrra saame süsteemi võimendust muuta, et süsteem jääks stabiilseks. Mida suurem amplituudivaru, seda stabiilsem on süsteem. Negatiivne amplituudivaru näitab, et süsteem on ebastabiilne. Amplituudivaru on võimenduse peegeldus x-telje suhtes sagedusel, kui faasinihe on võrdne 180 kraadiga. Seda sagedust kutsutakse ka faasi ülemineku sageduseks (ingl phase crossover frequency). Valem: 0 – võimendus = amplituudivaru. Võimendus on loetud Bode võimenduse graafikult detsibellides. ^[1]

Faasivaru

Faasivaru (ingl phase margin) on nurk, mille võrra saab faasi suurendada või vähendada, et süsteem püsiks stabiilne. Suurem faasivaru tähendab stabiilsemat süsteemi. Faasivaru saab samuti lugeda graafikult. Selleks tuleb otsida sagedus, mille juures on võimendus võrdne nulliga. Seda sagedust kutsutakse ka võimenduse ülemineku sageduseks. Kui see sagedus on leitud, siis tuleb leida samal sagedusel faasinihe ja lahutada sellest –180 kraadi. Valem matemaatiliselt: faasivaru = faasinihe – (–180) kraadi.^[1]

Joonis 1. Bode'i diagramm ülekandefunktsioonile ${\displaystyle {\frac {1}{s(s+2)(s+3)}}}$. Samuti on MATLAB arvutanud välja ka amplituudivaru (Gm) ja faasivaru (Pm).

Eelised

1. Lihtne meetod graafiliselt süsteemi võimenduse ja faasinihke kuvamiseks.^[1][2]
2. Kui toimub ülekandefunktsioonide korrutamine või jagamine, siis logaritmilisel skaalal saame graafikuid lihtsalt liita või lahutada.^[1][2]
3. Graafiku järgi on lihtne öelda, kas süsteem on stabiilne või mitte. Kui on vaja ainult üldist hinnangut, pole vaja teha keerukaid arvutusi.^[1][2]
4. Graafik katab väga laia sagedusvahemikku.^[1]

Diagrammiga seotud mõisted

Võimenduse ülemineku sagedus (ingl gain crossover frequency) on sagedus, millega võimenduskõver lõikab x-telge võimenduse graafikul. See tähendab, et sel sagedusel on võimendus võrdne ühega ja logaritmilisel kaalal vaatleme punkti, kus kõver saavutab väärtuse null detsibelli.^[1]

Faasi ülemineku sagedus (ingl phase crossover frequency) on sagedus, mille juures faasikõver läbib punkti, kus faasinihe on 180 kraadi. ^[1]

Lõikesagedus (ingl cut-off frequency) on sagedus, mille juures kohtuvad kaks asümptooti.^[1]

Resonantssagedus (ingl resonant frequency) on sagedus, mille juures on võimendus kõige suurem.^[1]

Bode'i stabiilsuse kriteeriumid

Stabiilse süsteemi jaoks peaks olema nii amplituudivaru kui ka faasivaru positiivsed reaalarvud. Süsteem on ka stabiilne kui faasivaru on suurem kui amplituudivaru.^[1]

Kriitilselt stabiilse süsteemi jaoks peaks olema amplituudivaru ja faasi varu mõlemad võrdsed nulliga. Kriitilist stabiilsust saab saavutada ka kui amplituudivaru ja faasivaru on võrdsed.^[1]

Süsteem on ebastabiilne kui kas amplituudivaru või faasivaru on negatiivsed reaalarvud või faasivaru on väiksem kui amplituudivaru.^[1]

Näited

Kõrgpääsfilter

Kui teame lineaarse nihkeinvariantse süsteemi ülekandefunktsiooni, siis on lihtne leida Bode'i diagramm ja sellelt lugeda süsteemi omadusi. Nende omaduste põhjal saame disainida just endale soovidele vastava filtri.

Joonis 2. Esimest järku kõrgpääsfiltri Bode'i diagramm

Joonisel 2 on näha, et tegu on kõrgpääsfiltriga, sest võimendus on negatiivne madalatel sagedusetel ja võrdne ühega kõrgetel sagedustel. Jooniselt on väga lihtne välja lugeda ka lõikesagedus ja näha kui palju mingit sageduse mõju vähendatakse. Samuti on näha ka, et faasinihe on 90 kraadi kui summutame sagedust ja faasinihe on null kui signaali sagedus on kõrge. Sellised omadused peavad olema kõrgpääsfiltril ja seega teame, et toodud filter peaks töötama õigesti.^[3]

Madalpääsfilter

Joonis 3. Esimest järku madalpääsfiltri Bode'i diagramm

Joonisel 3 on madalpääsfilter. Joonise põhjal on lihtne aru saada filtri põhimõttele, sest võimendus on 1 ehk logaritmilisel skaalal null madalatel sagedusetel ning kõrge sagedusega signaalid on summutatud. Faasinihe muutub nullilt kuni -90 kui sagedus suureneb. Nende omaduste põhjal on tegu madalpääsfiltriga.^[4]

Ajalugu

Bode diagrammi töötas välja Hendrik Wade Bode ['boudi], töötades 1930. aastatel Bell Labsis Ameerika Ühendriikides. Sellise meetodi töötas ta välja, et lihtsustada filtrite disainimist, mida kasutada sidevahendites.^[1]

Hendrik Wade Bode

Sündis 24. detsembril 1905 Wisconsini osariigis Ameerika Ühendriikides. Ta omandas bakalaureuse- ja magistrikraadi Ohio ülikoolis ja lõpetas õpingud 1926. aastal. Kohe pärast seda asus ta tööle Bell Labsis. 1935. aastaks oli ta töö kõrvalt omandanud ka doktorikraadi.

1938. aastaks oli ta välja töötanud meetodi, kus süsteemide stabiilsuse uurimiseks kasutas ta amplituudivaru ja faasivaru. Teise maailmasõja ajal ja pärast seda oli ta tihedalt seotud sõjatööstusega, kus ta aitas välja töötada tulejuhtimissüsteemide ja sidevahendite tehnilisi lahendusi.^[5]

Viited

1. Electrical 4 U - Bode Plot, Gain Margin and Phase Margin. Vaadatud 17. aprill 2022
2. Automaatjuhtimise alused: 2. Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine^{[alaline kõdulink]}. Vaadatud 17. aprill 2022
3. ElectronicsTutorials: Passive High Pass Filter. Vaadatud 17. aprill 2022
4. ElectronicsTutorials: Passive Low Pass Filter. Vaadatud 17. aprill 2022
5. Bode biograafia. Vaadatud 8. mai 2022