Jälg (lineaaralgebra)

Ruutmaatriksi jälg on selle maatriksi peadiagonaali elementide summa:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,}$,

kus ${\displaystyle a_{ij}}$ tähistab maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus asuvat A elementi.

Maatriksi jälg ei sõltu baasi valikust. Seetõttu saab defineerida lineaarteisenduse jälje kui lineaarteisendusele vastava maatriksi jälje. Iga lineaarteisenduse jaoks pole võimalik jälge defineerida.

Omadused

• Jälg on lineaarne teisendus, mis teisendab maatriksi skalaariks:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$,

${\displaystyle \operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)}$,

kus c on skalaar.

• Jälg on invariantne selle argumendi tegurite tsükliliste permutatsioonide suhtes:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$

ehk üldiselt

${\displaystyle \operatorname {tr} (A_{1}A_{2}...A_{n})=\operatorname {tr} (A_{k+1}A_{k+2}...A_{k})}$.

• Jälg on invariantne transponeerimise suhtes:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)}$

• Jälg on invariantne sarnasusteisenduste suhtes:

${\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} ((AP)P^{-1})=\operatorname {tr} (A)}$

• Viimasest seosest ja sellest, et igal maatriksil on Jordani normaalkuju, tuleneb, et jälg on maatriksi omaväärtuste summa.

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum \lambda _{i}}$,

kus ${\displaystyle \lambda _{i}}$ on A omaväärtused.

• Seos jälje ja determinandi vahel:

${\displaystyle \det(\operatorname {exp} (A))=\operatorname {exp} (\operatorname {tr} (A))}$,

kus exp on eksponentfunktsioon.

• kui A ja B on positiivsed osaliselt määratud maatriksid, siis

${\displaystyle 0\leq \mathrm {tr} (AB)^{n}\leq \mathrm {tr} (A)^{n}\mathrm {tr} (B)^{n}.\,}$.

Vaata ka

• Maatriks
• Determinant