kus iga indeks i1, i2, ... , in saab väärtused naturaalarvude hulgast1, 2, ... , n, kusjuures erinevaid saab olla nn tükki. Indeks n näitab Levi-Civita sümboli mõõdet.
Tullio Levi-Civita avaldas koos Gregorio Ricci-Curbastroga 1900. aastal artikli "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", kus esmakordselt kirjeldati sümbolit, mis hiljem sai tuntuks Levi-Civita sümbolina. Oma hilisemas töös kutsus Levi-Civita sümbolit ε-süsteemiks.[2]
Levi-Civita sümbol peab olema antisümmeetriline ehk kui kaks suvalist indeksit, olenemata nende väärtusest, vahetavad kohad, muutub kogu Levi-Civita sümbol vastasmärgiliseks.
Kui kaks või enam suvalist indeksit on võrdsed, on sümboli väärtus võrdne nulliga. Kui kõik indeksid on üksteisest erinevad, saab võrduse
kus p on inversioonide arv ja näitab, kui mitu korda on vaja indekseid ümber tõsta, et permutatsioonist (i1, i2, ... , in) saaks n-elemendiline permutatsioon (1, 2, ... , n), mida tuntakse ka loomuliku permutatsioonina.[3]
Kolmemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:[4]
Kui (i, j, k) moodustavad paarispermutatsiooni, siis on väärtus +1; kui (i, j, k) moodustavad paaritu permutatsiooni, siis on väärtus −1; kui kaks või enam indeksi väärtust korduvad, on tulemuseks 0.
Sarnaselt kahemõõtmelise Levi-Civita sümboli väärtustega saab kolmemõõtmelise sümboli kõik väärtused esitada 3×3×3 maatriksina, kus i on sügavus, j on rida ja k on veerg.
või ükskõik milline selle skalaarkorrutis on ainus kolme alaindeksiga suurus, mis muudab märki, kui kahe indeksi kohad omavahel ära vahetada.[5]
Üldistus n-mõõtmele tuleb kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboli definitsioonist. Kui võtta indeksiteks naturaalarvud a1, a2, a3, ... , an , saab neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli järgmiselt:
Levi-Civita sümboli võib kirjutada ka järgmisel kujul:
Selles valemis tähistab korrutamise sümbolit, mis tähendab, et avaldist tuleb korrutada üle muutujate i ja j. Sgn on signumfunktsioon, mille väärtused on kas (+1, 0, −1) vastavalt sellele, kas funktsiooni avaldis on suurem või väiksem kui null või nulliga võrdne. Valem kehtib kõikide n väärtuste korral, kuid on siiski vähelevinud, kuna indeksite ümbertõstmine Levi-Civita sümboli leidmiseks on lihtsam ja kiirem.
Tensor, mille komponendid on ortonormaalsesbaasis esitatud Levi-Civita sümboli kaudu, on pseudotensor, sest ortogonaalsetransformatsiooni käigus omandab jakobiaan negatiivse märgi. Kuigi Levi-Civita sümbol käitub pärisortogonaalteisendustel nagu tensor, on ta siiski kolmandat järku Descartesi pseudotensor. Seega Levi-Civita sümboli nimetamine Levi-Civita permutatsioonitensoriks on pigem formaalne.[5]
Vastavalt kontekstile, kus Levi-Civita sümbolit on tensorite komponentide muutmiseks vaja kasutada, tuleb sümbol kirjutada kas kovariantsena või kontravariantsena. Indeksite asukoha muutusest ei sõltu Levi-Civita sümboli väärtus ja seega võib neid vaadelda kui kahte võrdset avaldist:
Selline käsitlusviis on võetud eelduseks järgnevate näidete jaoks.
Tihti otsitakse Levi-Civita sümboli korrutist mingi tensori komponentidega. Sel juhul on vaja kõik võimalikud korrutised kokku liita, mille lihtsustamiseks on kasutusele võetud Einsteini kokkulepe. Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on kokkulepe, tähistamaks korduvate indeksite summeerimist üle nende indeksite. Korraga võib summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid tuleb meeles pidada, et kõikidel indeksitel oleks sama piirkond. See kehtib nii kovariantsete kui ka kontravariantsete komponentide jaoks. Summamärki ei ole enam vaja kirjutada.
Kui a = (a1, a2, a3) ja b = (b1, b2, b3) on vektorid, mis moodustavad paremakäelise koordinaatide süsteemi üle ortonormaalse baasi ja kuuluvad hulka , siis nende determinant on[5]
mis tänu Levi-Civita sümbolile lihtsustub järgmiselt:
Jälgides Einsteini reeglit, võib summeerimissümbolid kirjutamata jätta. Seega on kahe vektori ristkorrutise i komponent
Võttes i väärtuseks (1, 2, 3) saab leida kõik kolm ristkorrutise komponenti ilma, et peaks neid eraldi välja arvutama.
Võttes kolmandaks vektoriks c = (c1, c2, c3), siis vektorite a, b ja csegakorrutiseks tuleb
Siit on kerge näha, et kui vahetada ükskõik millise kahe vektori järjestus, siis muudab segakorrutis märki, ehk vektorite segakorrutis on antisümmeetriline:
↑ 5,05,15,25,35,4Ken Riley, Michael Hobson, Stephen Bence. "Mathematical methods for physics and engineering", Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.