Spektraalanalüüs vähimruutude meetodil

Signaal, mida analüüsida vähimruutude meetodil

Spektraalanalüüs vähimruutude meetodil on Fourier' teisendusega sarnane spektraalanalüüsi meetod, mis teisendab signaali ajaruumist signaali spektriks. Erinevalt Fourier' teisendusest saab seda kasutada ebakorrapäraste ajavahedega diskreeditud signaali puhul.

Fourier' teisenduse kasutamiseks peaks eelnevalt näiteks signaali Interpoleerimine ühtlaste ajavahemike taha, mis aga lisab mõõtemääramatust.^[1] Meetodit nimetatakse ka Vaníčeki meetodiks Petr Vaníčeki järgi. ^[2] Teine meetod on Lombi meetod, Nicholas R. Lombi järgi. Tema töö põhines Petr Vaničeki ja F.-J. M. Barningu omadel. ^[1]

Vaníčeki meetod

Vaníčeki meetodiga (1969) teisendus töötab ainult positiivsete reaalarvuliste sagedustega. Lihtsustatud kujul teisendus kasutab omadust, et diskreetne Fourier' pööre on vähimruutude meetodi interpolatsioon. Massiivi vaatlustest saab üldistada kui Fourier' seeriat maatriksina järgnevalt:

${\displaystyle \phi =A*x}$ (1.1)

x on vektor Fourier' koefitsientidest, mida hinnatakse, ja A on varem defineeritud trigonomeetriliste funktsioonide maatriks. x Fourier' koefitsiente saab hinnata, lahendades need vähimruutude minimeerimiskriteeriumitega. Lahenduseks:

${\displaystyle {\hat {x}}=N^{-1}\cdot A^{T}\phi }$ (1.2)

Selles valemis ${\displaystyle X=A^{T}\phi }$. Transform igale sagedusele ${\displaystyle f_{x}}$ on

${\displaystyle F_{x}=A_{f_{x}}^{T}\phi }$ (1.3)

Selles valemis ${\displaystyle A_{f_{x}}}$ on osa, mis vastab ainult sagedusele ${\displaystyle f_{x}}$. Fourier' koefitsiendid saab lihtsamini kirjutada nüüd.

${\displaystyle {\hat {x}}=N^{-1}F}$ (1.4)

Asendades valemis 1.1 valemi 1.4 saame hinnatud vaatlused, mis näitab samaaegset vähimruutude pöördteisendust

${\displaystyle {\hat {\phi }}=AN^{-1}F}$

Üksikute ajahetkede ${\displaystyle {\hat {\phi _{t_{i}}}}=A_{t_{i}}N^{-1}F}$

Lisaks eelnevale võrdsete kaaludega meetoditele on kaalutud vähimruutude meetod, kus on arvutustel lisaks vaatluste kaal maatrikskujul ${\displaystyle C_{\phi }^{-1}}$^[2]

Lombi meetod

Lombi meetod eeldab, et on N andmepunkti ja eelnevalt on tarvis leida nende keskmine ${\displaystyle {\bar {h}}}$ ja dispersioon ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Lombi normaliseeritud periodogrammi valem on järgnev:

${\displaystyle P_{x}(\omega )={\frac {1}{2*(\sigma ^{2})}}\left({\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)}$

Valemis ${\displaystyle \tau }$ ajaviivitus on defineeritud järgnevalt:

${\displaystyle \tan {2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}}$

Muutuja ${\displaystyle \tau }$ abil saab muutuda ${\displaystyle P_{x}(\omega )}$ sõltumatuks igasuguse ${\displaystyle t_{j}}$ konstandiga muutusest. Sellise nihkega tuleb ka esile omadus, et saadud periodogramm on samaväärne kui hinnatav periodogramm mudelist, mis on valemiga:

${\displaystyle h(t)=A*cos(\omega *t)+B*sin(\omega *t)}$ ^[1]

Peale vähimruutude meetodil teisendust on tulemuseks graafik, kus igal sagedusel on tõenäosus, et see seal esineb. Erinevalt tavalisest Fourier' teisendusest on võimalik ka tuvastada sagedusi, mis on Nyquisti sagedusest suuremad. Tegu on siiski aeglase algoritmiga, mida võiks kasutada lühikeste andmete peal.^[1]

Üldine Lombi-Scargle'i periodogramm

Üldist Lomb-Scargle'i periodogrammi kasutatakse siinuslainete vähimruutude meetodil analüüsiks. Üldine on parem tavalisest Lombi-Scargle'i periodogrammist, sest see ei tekitab vähem diskreetmoonutusi ja annab täpsemaid sagedusi. Sellegipoolest arvutuslik koormus on sarnane. Samuti tavaline periodogramm ei arvesta mõõtemääramatusi. Lisaks on tavalisel periodogrammil eelduseks, et mõõdetud andmete ja tegeliku siinussignaali keskmised on samad. Sellest eeldusest saab mööda lisades nihke c. Nüüd on periodogramm

${\displaystyle h(t)=A*cos(\omega *t)+B*sin(\omega *t)+c}$

Üldist Lombi-Scargle'i periodogrammi nimetatakse ka ujuvkeskmise periodogrammiks.^[3]

Cheni ja Donoho "alusjälitamise" meetod

"Alusjälitamise" meetod leiab signaalide esituse, kasutades konveksset optimeerimist. Seda saab kasutada mürase signaaliga ja arvutuslikult on võimalik lahendada lineaarselt suureneva ajaga.^[4]

Kasutused

Vähimruutude spektraalanalüüsi meetodi suureks eeliseks on see, et need saavad analüüsida igasuguseid mõõtmisi, ilma, et muudaks andmeid või liidaks andmeid juurde, nagu näiteks Fourier' teisendus, mis puuduva andmepunkti asendab selle praktiliselt nulliga.^[1] Magnituudid esindavad, kui suure osa see sagedus avab mõju signaali dispersioonile. Kui on 150 või rohkem andmepunkti, siis vähimruutude spekter koondub beetagraafikuks. Graafikuid saab esindada ka dB ühikutes.^[5]

Vaata ka

• Fourier' teisendus
• Diskreetne Fourier' teisendus

Viited

1. Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (2007). Numerical Recipes. Kd 3. Cambridge University Press. Lk 685.
2. Craymer (1998). The least squares spectrum, its inverse transform and autocorrelation function, theory and some applications in geodesy (PDF). Lk 41.
3. Kürster, Zechmeister (2009). The generalised Lomb-Scargle periodogram (PDF). Astronomy & Astrophysics. Lk 1.
4. Chen, Donoho, Saunders (1996). Atomic decomposition my Basis Pursuit. Society for Industrial and Applied Mathematics. Lk 3.
5. Pagiatakis (1999). Stochastic significance of peaks in the least-squares spectrum (PDF). Journal of Geodesy. Lk 67.