Sümmeetriline vahe

Hulgateoorias nimetatakse hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks hulka ${\displaystyle A\Delta B}$, kuhu kuuluvad kõik hulkade A ja B elemendid, mis ei kuulu korraga hulkadesse A ja B.

Definitsioon

${\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A),\,}$

kus \ tähistab hulkade vahet ja ∪ hulkade ühendit.

Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3, 4, 5} ja {4, 5, 6, 7} sümmeetriline vahe on {1, 2, 3, 6, 7}.

Omadused

Hulkade sümmeetrilise vahe leidmisel on järgmised omadused: ^[1]

• Seos vahe, ühendi ja ühisosaga.

${\displaystyle A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),\,}$,

• Kommutatiivsus

${\displaystyle A\Delta B=B\Delta A,\,}$,

• Assotsiatiivsus

${\displaystyle (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C),\,}$,

• Seos tühihulgaga

${\displaystyle A\Delta \varnothing =A,\,}$,

${\displaystyle A\Delta A=\varnothing ,\,}$,

• Distributiivsus hulkade ühisosaga

${\displaystyle A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C).}$,

Viited

1. M Kilp, Algebra I (1998)