Tee (topoloogia)

Punkt, mis on ruumis R² viidud A-st B-sse. Aga teised teed võivad läbida sellesama punktihulga.

Topoloogias nimetatakse teeks (või mõnikord parametriseeritud jooneks) topoloogilises ruumis X pidevat kujutust f ühiklõigust I = [0,1] (mõnikord ka mis tahes lõigust, sel juhul samastatakse tee parametriseeritud joonega) ruumi X

f : I → X.

Tee alguspunkt on f(0), tee lõpp-punkt on f(1). Sageli räägitakse "teest punktist x punkti y", kus x ja y on tee algus- ja lõpp-punkt. Tee ei ole lihtsalt ruumi X alamhulk, mis "näeb välja nagu" joon, vaid kätkeb ka parametriseeringut. Näiteks kujutused f(x) = x ja g(x) = x² tekitavad kaks erinevat teed 0-st 1-ni reaalsirgel.

Aas ruumis X baaspunktiga x ∈ X on tee punktist x punkti x. Aasa võib defineerida ka kujutusena f : I → X, mille korral f(0) = f(1), või pideva kujutusena ühikringjoonelt S¹ ruumi X

f : S¹ → X.

Viimane tuleneb sellest, et ruumi S¹ võib pidada ruumi I faktorruumiks 0 ja 1. Kõigi aasade hulk ruumis X moodustab ruumi, mida nimetatakse ruumi X aasruumiks ^[1].

Topoloogilist ruumi, mille mis tahes kaht punkti ühendab tee, nimetatakse lineaarselt sidusaks. Iga ruumi saab lahutada lineaarselt sidusateks komponentideks. Ruumi X lineaarselt sidusate komponentide hulka tähistatakse sageli π₀(X).

Teed ja aasad saab defineerida ka punkteeritud ruumidel, mis on olulised homotoopiateoorias. Kui X on topoloogiline ruum fikseeritud punktiga x₀, siis tee ruumis X on tee, mille alguspunkt on x₀. Samamoodi on aas ruumis X aas punktis x₀.

Teede homotoopia

 Pikemalt artiklis Homotoopia

Kahe tee vaheline homotoopia.

Teed ja aasad on algebralise topoloogia haru homotoopiateooria kesksed uurimisobjektid. Teede homotoopia eksplitseerib tee pideva otspunkte säilitava deformatsiooni mõiste.

Teede homotoopia ruumis X on niisuguste I järgi indekseeritud teede f_t : I → X pere, et:

• f_t(0) = x₀ ja f_t(1) = x₁ on fikseeritud;
• kujutus F : I × I → X, mille annab F(s, t) = f_t(s), on pidev.

Öeldakse, et teed f₀ ja f₁ on homotoopsed (ehk täpsemalt lineaarselt homotoopsed), kui nad on seotud homotoopiaga. Analoogselt võib defineerida baaspunkti säilitava aasade homotoopia.

Homotoopsus on teede ekvivalentsusseos topoloogilises ruumis. Tee f ekvivalentsiklassi selle seose järgi nimetatakse tee f homotoopiaklassiks ning seda tähistatakse sageli [f].

Teede kompositsioon

Teede kompositsiooni topoloogilises ruumis saab moodustada ilmsel viisil. Olgu f tee punktist x punkti y ja g tee punktist y punkti z. Tee fg defineeritakse kui tee, mis saadakse, kui läbitakse kõigepealt f ning seejärel g:

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

Teede kompositsioon on muidugi defineeritud ainult juhul, kui tee f alguspunkt langeb kokku tee g alguspunktiga. Kui vaadelda aasu punktis x₀, siis teede kompositsioon on binaarne tehe.

Teede kompositsioon (kui see on defineeritud), ei ole assotsiatiivne, sest parametrisatsioon on erinev. Küll aga on see assotsiatiivne homotoopia täpsusega, st [(fg)h] = [f(gh)]. Teede kompositsioon määrab aasade homotoopiaklasside hulgal ruumis X baaspunktiga x₀ rühma struktuuri. Saadavat rühma nimetatakse ruumi X fundamentaalseks rühmaks punktis x₀ ja seda tähistatakse tavaliselt π₁(X,x₀).

Tee ruumis X võib defineerida pideva kujutusena lõigust [0,a] ruumi X mis tahes reaalarvu a ≥ 0 puhul. Niisugusel teel f on pikkus |f|, mis defineeritakse kui a. Teede kompositsioon defineeritakse siis teatud muudatusega:

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

Kui eelmises definitsioonis on teedel f, g ja fg pikkus 1, siis selle definitsiooni järgi |fg| = |f| + |g|. Eelmises definitsioonis rikkus assotsiatiivsuse see, et kuigi teedel (fg)h ja f(gh) on sama pikkus 1, on tee (fg)h keskpunkt g ja h vahel, aga tee f(gh) keskpunkt on f ja g vahel. Muudetud definitsioonis on teedel (fg)h ja f(gh) sama pikkus, nimelt |f|+|g|+|h|, ja sama keskpunkt, nimelt (|f|+|g|+|h|)/2. Ja isegi parametrisatsioon on sama.

Fundamentaalne rühmoid

Mis tahes topoloogiline ruum X tekitab kategooria, mille objektid on ruumi X punktid ja morfismid on teede homotoopiaklassid. Et mis tahes morfism selles kategoorias on isomorfism, on see kategooria rühmoid, mida nimetatakse ruumi X fundamentaalseks rühmoidiks. Aasad selles kategoorias on endomorfismid (kõik need on tegelikult automorfismid). Punkti x₀ automorfismide rühm ruumis X on lihtsalt selle punktiga seotud fundamentaalne rühm ruumis X. Saab defineerida fundamentaalse rühmoidi ruumi X mis tahes alamhulgas A, kasutades alamhulga A punkte ühendavate teede homotoopiaklasse. Seda konstruktsiooni kasutatakse näiteks seoses Seiferti – van Kampeni teoreemiga.

Teed normeeritud ruumis

Normeeritud ruumis saab punkte ühendavate teede loomust täpsustada.

Sirge tee on tee, mida saab esitada kujul ${\displaystyle \gamma (t)=x+t{\vec {u}}}$ kõikide ${\displaystyle t\in [0,1]}$ puhul. Vektorit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ nimetatakse tee ${\displaystyle \gamma }$ juhtvektoriks. Tee kujutiseks olev joon on siis sirge lõik.

Murdjooneline tee on tee, mis on esitatav lõpliku arvu sirgete teede kompositsioonina. Tee kujutiseks olev joon on murdjoon.

Viited

1. John Frank Adams. Infinite Loop Spaces, Princeton University Press 1978. — Annals of Mathematics Studies, kd 90. ISBN 9780691082066.

Kirjandus

• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces, Princeton University Press 1978. Annals of mathematics studies, kd 90. ISBN 9780691082066.
• Peter May. A concise course in algebraic topology, Chicago: University of Chicago Press 1999. ISBN 0226511820, ISBN 9780226511825.
• James R. Munkres. Topology, 2. trükk, Prentice Hall 2000.
• Ronald Brown. Topology and groupoids, Deganwy 2006. ISBN 1-4196-2722-8.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология, М.: МЦНМО 2010. ISBN 978-5-94057-587-0.