Banaketa geometriko

Probabilitate teorian eta estatistikan, banaketa geometrikoa Bernoulliren prozesu batean lehenengo baiezko edo arrakasta suertatu arte suertaturiko ezezko edo porrot kopuruaren probabilitate banaketa da. Adibidez, banaketa geometrikoa dado bat behin eta berriz botata lehenengo 6 puntuazioa suertatu arte 6 ez diren puntuazioen kopuruari nahiz pieza segida batean lehenengo akastuna gauzatu arte akasgabeen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzeko erabil daiteke^{[ohar 1]}. Geometriko izena ondoz ondoko balioen probabilitateek segida geometriko bati jarraitzen diotelako ematen zaio. Parametro bakarreko probabilitate banaketa da: p, arrakastaren probabilitate bakuna hain zuzen. Propietate jakingarriak baditu: porrot kopuru jakin gertatu delarik, arrakasta suertatu arteko porrot kopuruaren probabilitate-banaketa geometrikoa da betiere, Bernoulliren prozesuko independentzia dela tarteko. Beste alde batetik, beste zenbait probabilitate banakuntzekin lotura duen banaketa: BN(r,p) banaketa binomial negatiboa r banaketa geometrikoren batura da; banaketa geometrikoa binomial negatiboaren kasu berezi bat da, non r=1 den, eta banaketa esponentziala banaketa geometrikoaren baliokide jarraitua da. Aplikazioei dagokienean, prozesu binomial baterako erabileraz gainera, banaketa geometrikoa maiz erabiltzen da maiztasun ziurgabeak modelizatzeko^[1], hala nola testu batean hitz jakin baten maiztasunei nahiz urte batean zehar toki batean izadako ekaitz kopuruari buruzko probabilitateak aztertzeko.

Definizioa

X zorizko aldagai bat banaketa geometrikoari jarraiki banatzen dela esaten da, labur ${\displaystyle X\sim G(p)}$,bere probabilitate-funtzioa hau denean:^{[ohar 2][2]}

${\displaystyle P(X=x;p)={\big (}1-p{\big )}^{x}p\ \ ;\ \ x=0,1,2,\ldots }$

Azalpena

Banakuntza geometrikoari jarraiki banatzen den zorizko aldagai batek lehenengo arrakasta (1) izan arteko porrot (0) kopurua adierazten du. Porrot bakoitzaren probabilitatea (1-p) izendatzen Bernoulli prozesuetako notazioaren arabera. Horrela, lehen arrakastaren aurretik gertatzen diren x porroten probabilitatea (1-p)^x da. Lehen arrakastaren aurreko porrot kopurua x izateko azkenik, x+1 aldian arrakasta, p probabilitateaz, gertatu behar da. Beraz, lehenengo arrakasta izan arteko porrot kopurua x izateko probabilitatea (1-p)^xp da.

Adibidea

Bernoulli prozesua	x (arrakastaren aurreko porrot kopurua)	P[X=x] (p=0.8,q=1-p=0.2)
00100...	2	0.8^20.2=0.128
0000100...	4	0.8^40.2=0.082
00000111...	5	0.8^50.2=0.065
0000000...	>7	?

Ezaugarriak eta propietateak

Itxaropen matematikoa

${\displaystyle X\sim G(p)}$ probabilitate-banaketa baten itxaropen-matematikoa hau da:

${\displaystyle \mu =E[X]={\frac {q}{p}}={\frac {1-p}{p}}}$

Frogapena

 Frogapenean segida geometrikoaren formula eta deribatuen batura baturen deribatua dela ezartzen duen teorema erabiltzen dira:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =E[X]&=\sum _{x=0}^{\infty }x(1-p)^{x}p\\&=p(1-p)\sum _{x=0}^{\infty }x(1-p)^{x-1}\\&=p(1-p)\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {d(1-p)^{x}}{d(1-p)}}\\&=p(1-p){\frac {d\sum _{x=0}^{\infty }(1-p)^{x}}{d(1-p)}}\\&=p(1-p){\frac {d{\big (}{\frac {1}{1-(1-p)}}{\big )}}{d(1-p)}}\ \ \;\ \textstyle {(t=1-p)\ aldagai\ aldaketa\ eginez}\\&=p(1-p){\frac {d{\big (}{\frac {1}{1-t}}{\big )}}{dt}}\\&=p(1-p){\frac {1}{(1-t)^{2}}}\\&=p(1-p){\frac {1}{(1-(1-p))^{2}}}\\&=p(1-p){\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {1-p}{p}}={\frac {q}{p}}\\\end{aligned}}}$

Bariantza

• G(p) banaketa baten bariantza honakoa da:

${\displaystyle var[X]={\frac {q}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Banakuntza geometrikoen batura

• ${\displaystyle X_{1},\ X_{2},\ldots ,X_{n}}$ aldagaiek G(p) banaketa geometrikoari jarraitzen badiote, ${\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}$ baturak BN(n,p) banaketa binomial negatiboari jarraitzen dio.

Bestelako jakingarriak

• Banakuntza geometrikoa kromo biltzailearen ebazkizunean erabiltzen da: biltzaileak k kromo dituelarik n kromoko bilduma batetik, eskuratzen duen hurrengo kromoa errepikatua ez izateko probabilitatea (n-k)/n da. Kromo ez errepikatu bat eskuratu ahal izateko erosi behar duen kromo kopurua G((n-k)/n) banaketa geometrikoaren arabera banatzen da.
• San Petersburgo paradoxan, irabaziak eskuratu arte jokatu beharreko aldien kopurua G(0.5) banaketaren araberakoa da.

Oharrak

1. Ohartarazi behar da arrakasta edo porrot izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, arraskata eta ondorioz p probabilitatea duen emaitza akastuna da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.
2. Iturri batzuen arabera, banaketa geometrikoa lehen porrota izan arteko arrakasta kopuruari buruzkoa da eta ondorioz, probabilitate funtzioa p^x(1-p) da. Funtsean ez dago diferentziarik bi definizioen artean eta emaitzak berberak izango dira batarekin nahiz bestearekin, porrot eta arraskata zein diren gorabehera

Erreferentzia

1. (Ingelesez) Bean, Michale A.. (2001). Probability:The Science of Uncertainty. , 207 or..
2. (Ingelesez) Geometric Distribution, mathworld.wolfram.com, 2013-03-16an kontsultatua.

Kanpo estekak