Borweinen algoritmoa

Borweinen algoritmoa Jonathan eta Peter Borweinek gauzatutako algoritmo bat da 1/π kalkulatzeko.

Honela jokatu behar da:

• Balio hauekin hasten da

  ${\displaystyle a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

  ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1}$

• Ondoren, formula hauekin iteratzen da

  ${\displaystyle y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}}$

  ${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

Orduan, a_k serieak konbergentzia laukoitza du 1/π-rantz; hau da, iterazio bakoitzean lau bider, gutxi gorabehera, handitzen da digitu zehatzen kopurua.

Konbergentzia-maila desberdintza honen bidez lortzen da:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})}$

Kanpo estekak