Cramerren erregela

Cramerren erregela aljebra linealeko teorema bat da, zeinak ekuazio-linealen sistemei soluzioa ematen dien determinanteak erabiliz. Gabriel Cramer (1704-1752) suitzar matematikariari zor dio izena, berak argitaratu baitzuen erregela 1750ean Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (euskaraz, Lerro kurbatu aljebraikoen analisirako sarrera) lanean, alabaina, Colin MacLaurin eskoziar matematikariak lehenago argitaratu zuen erregela, 1748an, Treatise of Geometry (euskaraz, Geometriaren Tratatua) lanean eta ziurrena da jada 1729tik metodoaren berri izatea.

Cramerren erregelak ekuazio-sistema ebazteko adierazpen esplizitua ematen du eta hortik datorkio garrantzia teorikoa. Alabaina, hiru ekuazio baino gehiago dituzten ekuazio-linealen sistemak ebazteko ez da eraginkorra, oso neketsua delako: konputazioan ez da erabiltzen ekuazio ugariko sistemetan, matrize handiak eratuko liratekeelako. Haatik, matrizeak piboteatu behar ez direnez, Gaussiar ezabaketaren metodoa baino eraginkorragoa da matrize txikietan, horregatik, SIMD operazioetan interesgarria da teorema (ikus Flynn-en sailkapena).

Azalpena

Izan bedi ${\displaystyle Ax=b}$ ekuazio-sistema bat, zeinetan ${\displaystyle A}$ sistemaren koefiziente-matrizea den, ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ sistemaren ezezagunen zutabe-bektorea den eta ${\displaystyle b}$ gai askeen zutabe-bektorea den. Orduan ekuazio-sistemaren ezezagun bakoitzaren soluzioa honakoa da:

${\displaystyle x_{j}={\cfrac {\det(\mathbf {A} _{j})}{\det(\mathbf {A} )}}}$

Non ${\displaystyle x_{j}}$ ezezagunen zutabe-bektoreko j-garren osagaia den, ${\displaystyle A_{j}}$ j-garren zutabean gai askeak ordezkatuta dituen koefiziente-matrizea den eta ${\displaystyle A}$ koefiziente-matrizea den. Hau da, ${\displaystyle x_{j}}$ ezezagunaren balioa gai askeak j-garren zutabean ordezkatuta dituen koefiziente-matrizearen determinantearen eta koefiziente-matrizearen determinantearen arteko zatidura da. Cramerren erregela erabili ahal izateko, ekuazio-sistemak bateragarri zehaztua izan behar du, hau da, koefiziente-matrizearen determinanteak ezin du zero izan (ikus Rouché-Frobeniusen teorema).

Adibideak

2x2 dimentsioko matrizeetan

Izan bedi ondorengo ekuazio-sistema lineala, bi ekuazioz eta bi ezezagunez osatua:

${\displaystyle {\begin{cases}a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}={\color {red}e}\\c{\color {blue}x}+d{\color {blue}y}={\color {red}f}\end{cases}}}$

Sistemari dagokion matrizea azpikoa da, ezkerrean koefiziente-matrizea, erdian ezezagunen zutabe-bektorea eta eskuinean gai askeen zutabe-bektorea:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

Sistema bateragarri zehaztua baldin bada, Cramerren erregelak ezezagun bakoitzari ondorengo balioa esleitzen dio, koefiziente-matrize ordezkatua koefiziente-matrizeaz zatituz:

${\displaystyle {\color {blue}x}={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}}\;,\quad {\color {blue}y}={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}}$

Kasu partikularra

Izan bedi azpiko ekuazio-sistema lineala:

${\displaystyle {\begin{cases}3x+1y=9\\2x+3y=13\end{cases}}}$

Dagokion matrize-forma ondorengoa da:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}$

Sistema bateragarri zehaztua dela jakinda (horretarako lehenago sistema eztabaidatu behar da, adibidez, Rouché-Frobeniusen teorema baliatuz), ondorengoak dira ezezagunei dagozkien balioak:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3}$

3x3 dimentsioko matrizeetan

Izan bedi hiru ekuazioz eta hiru ezezagunez osatutako ondorengo ekuazio-sistema lineala:

${\displaystyle {\begin{cases}a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}+c{\color {blue}z}={\color {red}j}\\d{\color {blue}x}+e{\color {blue}y}+f{\color {blue}z}={\color {red}k}\\g{\color {blue}x}+h{\color {blue}y}+i{\color {blue}z}={\color {red}l}\end{cases}}}$

Zeina matrize moduan adierazita ondorengoa den:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\\{\color {blue}z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ eta ${\displaystyle z}$ ondorengo moduan atzeman daitezke:

${\displaystyle {\color {blue}x}={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\,,\quad {\color {blue}y}={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\;,\quad {\color {blue}z}={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$

Kasu partikularra

Izan bedi ondorengo ekuazio-sistema lineala:

${\displaystyle \left\lbrace \!\!\!{\begin{array}{rl}3x+2y+1z=&\!\!\!1\\2x+0y+1z=&\!\!\!2\\1x+1y+2z=&\!\!\!4\end{array}}\right.}$

Zeina matrize moduan adierazita ondorengoa den:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}}}$

Hortaz, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ eta ${\displaystyle z}$ ezezagunen balioak honakoak dira:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&1\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&1&1\\\,\,\,\,2&2&1\\-1&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad z={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&2\\-1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}}$

Kanpo estekak