Hölderren desberdintza

Analisi matematikoan la Hölderren desberdintza, Otto Hölderek formulatua, funtsezko desberdintza bat da integralen artean eta ezinbesteko lanabesa L^p espazioak ikasteko.

Bira (S, Σ, μ) espazio metriko bat eta 1 ≤ p, q ≤ ∞ non 1/p + 1/q = 1 betetzen duen. Orduan, edozein balio erreal edo konplexuko f eta g  S-ko funtzio neurgarrirako , honako hau dugu:

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

p eta q zenbakiei bata bestearen Hölderren konjokatuak deritze, eta askotan q = p* = p' idazten. p = q = 2 kasu berezian, Cauchy-Schwarzen desberdintza ezaguna da.

Hölderren desberdintza betetzen da ||fg ||₁ infinitua izanda ere, kasu horretan desberdintzaren eskuineko aldea infinitua izanik. Bereziki, f L^p(μ)-n eta g L^q(μ)-n badaude, orduan fg L¹(μ)-n dago.

1 < p, q < ∞, f ∈ L^p(μ) eta g ∈ L^q(μ) badira, Hölderren desberdintza berdintza bihurtuko da baldin eta soilik baldin |f |^p eta |g |^q linealki mendekoak badira L¹(μ)-n. Horrek esan nahi du bi zenbaki erreal existitzen direla α, β ≥ 0, haietako baten bat desberdin 0 zanik, non α |f |^p = β |g |^q μ-ia edonon baita.

Hölderren desberdintza Minkowskiren desberdintza frogatzeko erabiltzen da, desberdintza triangeluarra zabaltzea dena L^p(μ) espazioan, eta baita ere ezartzeko L^q(μ)  L^p(μ)-ren espazio duala dela, 1 ≤ p < ∞ denean.

Hölderren desberdintza lehenengoz Rogersek aurkitu zuen 1888an, eta Hölderrek bere aldetik 1889an.

Bibliografia

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G.. (1934). Inequalities. Cambridge University Press ISBN 0521358809..
• Hölder, O.. (1889). «Ueber einen Mittelwerthsatz» Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen (Band 1889): 38.–47.. (Alemanez). Eskuragarri hemen: Digi Zeitschriften.
• Txantiloi:Springer
• Rogers, L J.. (1888). «An extension of a certain theorem in inequalities» Messenger of Mathematics (17): 145.–150...
• Kenneth, Kuttler. Online e-book PDF formatoan, Brigham Young University.

• Arthur, Lohwater. Introduction to Inequalities. Online e-book PDF formatoan.

Kanpo estekak