Konparaziozko irizpidea

Izan bitez ${\displaystyle \sum a_{n}}$ eta ${\displaystyle \sum b_{n}}$ gai positiboko serieak, ${\displaystyle {\displaystyle \sum a_{n}}<<\sum b_{n}}$ izanik, hau da, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ seriea ${\displaystyle \sum b_{n}}$ seriearen minorantea izanik. Orduan,

(i) ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea bada, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ere konbergentea da.

(ii) ${\displaystyle \sum a_{n}}$ dibergentea bada, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ere dibergentea da.

Froga

(i) atalaren froga:

Izan bitez ${\displaystyle \{S_{n}\}}$, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ seriaren batura partzialen segida eta ${\displaystyle \{S'_{n}\}}$ , ${\displaystyle \sum b_{n}}$ seriearen batura partzialen segida.

${\displaystyle a_{n}\leq b_{n},\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow S_{n}\leq S'_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$

Orduan, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea ${\displaystyle \Longleftrightarrow \{S'_{n}\}}$ goitik bornatua ${\displaystyle \Longrightarrow \{S_{n}\}}$ goitik bornatua ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konbergentea.

(ii) atalaren froga:

Absurdura eramanez, demagun ${\displaystyle \sum a_{n}}$ dibergentea izanik, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea dela. Baina, orduan, (i) atala aplikatuz ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konbergentea izango litzateke eta hori absurdua da.

Ondorioz, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ dibergentea da.

Adibidea

Azter dezagun ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}}$ seriearen izaera.

Argi ikus daiteke gai positiboko seriea dela, beraz, konparazio irizpidea aplika daiteke.

${\displaystyle \cos ^{2}(n^{2}-7)\leq 1,\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow {\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}\leq {\frac {2}{n^{2}}},\forall n\in \mathbb {N} }$

Hau da, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}}$ seriea ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n^{2}}}}$ seriearen minorantea da ${\displaystyle ({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}}<<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n^{2}}})}$.

${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ seriea kobergentea denez ${\displaystyle \Longrightarrow {\displaystyle \sum {\frac {2}{n^{2}}}}}$ seriea ere konbergentea da. Orduan, bukatzeko eta konparazio irizpidea aplikatuz, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}}$ seriea ere konbergentea da.

Kanpo estekak