Leibnizen serie

Matematikan, Leibnizen formulak π kalkulatzeko balio du. Gottfried Leibnizen ohorez horrela izendatua, honela dio:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!}$

Aurreko espresioa serie infinitu bat da, Leibnizen seriea deritzona, π ⁄ 4 denean konbergentzia lortzen duena. Gregalik-Leibniz saila ere deitzen zaio, James Gregoryren lana aitortzeko, Leibnizko garaikidea baita. Batuketaren ikurra erabiliz, honela adieraz daiteke seriea:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!}$

Serie edo formula hori sailak alderantzizko funtzio tangenterako duen hedapen orokorrago baten kasu berezia da. XV. mendean aurkitu zuen Madhava Sangamagramakoak, Keralako astronomia- eta matematika-eskolaren sortzaile indiarrak, Leibnizek bere serie espezifikoa argitaratu baino 300 urte lehenago. Bere lana eskertzeko, formula horri Madhava-Leibniz saila ere esaten zaio.^[1][2]

Demostrazioa

Har dezagun serie geometriko infinitua

${\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!}$

Berdintasunaren bi kideak integratuz, potentzia batzuk lortzen dira arkotangente batentzat:

${\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!}$

x = 1 balioa sartzean, Leibnizen formula lortzen da (1 balioa π tangente da). Arrazoibide horren arazoa da 1 ez dagoela potentzia horien konbergentzia-erradioan, eta, beraz, argumentu sendoago bat behar da erakusteko seriea tan⁻¹(1) dela x = 1 denean. Aukera bat seriearen konbergentzia Leibnizen irizpidearen bidez erakustea da, gero Abelen teorema aplikatzeko tan⁻¹(1) konbergentzia izan behar duela frogatzeko. Baina oinarrizko argudioa ere erabil daiteke.

Oinarrizko argudioa

Demagun deskonposizio hau dugula:

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}$

|x| < 1rako, eskuineko frakzioa da serie geometrikoko gainerako terminoen batura. Hala ere, ekuazioak ez ditu serie infinituak erabiltzen, eta x-ren edozein balio errealetan betetzen da. Bi kideak 0tik 1era integratuz, hau lortzen da:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!}$

Gero eta ${\displaystyle n\rightarrow \infty \!\,}$-ra gehiago hurbildu, ekuazioko gaien baturak, integralak izan ezik, Leibnizen seriera jotzen du, eta integralak 0ra jotzen du:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\qquad {\text{cuando }}n\rightarrow \infty .\!}$

Horrek frogatzen du Leibnizen formula.

π kalkulatzeko eraginkortasuna

Praktikan, Leibnizen formula ez da oso eraginkorra π kalkulatzeko, urrats kopuru handia behar baitu nolabaiteko zehaztasuna lortzeko. π kalkulatzeko, 10 hamartar zuzen erabiliz, bost mila milioi eragiketa matematiko baino gehiago egin behar dira, eta ordenagailuek denbora gehiago beharko dute π kalkulatzeko formula eraginkorragoak erabiliz.

Hala ere, seriea une egokian eteten bada, hurbilketaren irudikapen hamartarra zuzena izango da beste digitu askorentzat, zifra isolatuak edo zifra multzoak izan ezik. 5 milioi termino hartuta, hau lortzen da:

3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058...

azpimarratutako zifrak okerrak dira. Hain zuzen, aurresangarriak dira akatsak: Eulerren zenbakiek sortzen dituzte E_n formula asintotikoaren arabera

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}\!}$

no N zenbaki oso bat baita, 4rekin zatitu daitekeena. N hamarreko potentzia bada, eskuineko gai bakoitza zatiki hamartar finitu bat da. Formula Boolek serie alternoen batuketa egiteko formularen kasu berezia da. 1992an, Jonathan Borweinek eta Mark Limberrek π kalkulatu zuten 5.263 hamartarrekin, Leibnizen formulako lehen mila terminoak bakarrik erabiliz.

Erreferentziak

1. George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy. (1999). Special Functions. Cambridge University Press, 58 or. ISBN 0521789885..
2. Gupta, R. C.. (1992). «On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series» Ganita Bharati 14 (1-4): 68-71..

Kanpo estekak