Markoven desberdintza

Probabilitate teorian eta estatistikan, Markoven desberdintzak balio negatiboak hartzen ez dituen zorizko aldagai batek balio positibo jakin bat gainditzeko probabilitatearen goi borne bat ematen du, probabilitate banaketaren itxaropen matematikoa bakarrik ezagutzen delarik, existitzen bada.

Bedi ${\displaystyle X\geq 0\,}$ balio ez negatiboak hartzen dituen zorizko aldagai bat. Markoven desberdintzak honako hau ezartzen du:

${\displaystyle \forall a>0,\qquad \mathbb {P} (X\geq a)\leq {\frac {E[X]}{a}}.}$

Adibidez, egun bateko hozbero maximoaren batez bestekoa 20 graduko izanik, zenbatekoa da hozbero maximoa 30 gradu edo handiagoa izateko probabilitatea?

${\displaystyle P[X\geq 30]\leq {\frac {20}{30}}=0.66}$

Beraz, eskatutako probabilitatea 0.66 edo txikiagoa dela ziurta daiteke.

Frogapena

Ondorengo frogapena probabilitate banaketa jarraituetarako bakarrik garatzen da. Banakuntza diskretuetarako frogapena ${\displaystyle \int \,}$ integral ikurra ${\displaystyle \Sigma \,}$ batukari ikurraz ordeztuz egiten da.

${\displaystyle a\leq E[X]\,}$ betetzen bada, bornea edo desberdintzaren eskuin aldea 1 baino handiagoa izango denez, bilatzen den probabilitatea 1 baino handiagoa den balio bat baino txikiagoa dela beti egiaztatzen baita.

${\displaystyle a>E[X]\,}$ betetzen bada, berriz:

${\displaystyle E[X]=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)dx\geq \int _{a}^{\infty }xf_{X}(x)dx\geq \int _{a}^{\infty }af_{X}(x)dx=aP(X\geq a),}$

integrazio eremuan ${\displaystyle x\geq a\,}$ betetzen baita. Bi muturrak lotuz:

Kanpo estekak

${\displaystyle E[X]\geq aP(X\geq a)\rightarrow P(X\geq a)\leq {\frac {E[X]}{a}}}$∎.