Modus tollendo tollens

Modus tollendo tollens (latinez: "ukatuz ukatzen duen modua";^[1] modus tollens,^[2][3][4][5] atzekariaren ukapenaren legea edo kontrajartze-legea izenez ere ezaguna)^[6] baliozko argudio-forma eta inferentzia-erregela da logika proposizionalean. Adierazpen bat baliozkoa bada, bere kontrajartzea ere badela dioen egia orokorraren aplikazioa da. Modus tollendo tollens erregelaren historiak antzinaroraino egiten du atzera.^[7] Modus tollendo tollens erregela esplizituki azaltzen lehenak estoikoak izan ziren.^[8]

Modus tollendo tollens inferentzia-erregelak ezartzen du lehen baieztapen batek bigarren bat inplikatzen badu, eta bigarrena ez bada egiazkoa, lehenak ezin duela egiazkoa izan inferitu daitekeela. Hau da, ${\displaystyle P}$-k ${\displaystyle Q}$ inplikatzen badu, eta ${\displaystyle Q}$ ez bada egiazkoa, orduan ${\displaystyle P}$ ere ez da egiazkoa.

Hori era formalean honela adieraz daiteke:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

non ${\displaystyle P\to Q}$-k esan nahi duen “P-k inplikatzen du Q” eta ${\displaystyle \neg Q}$-k esan nahi duen “ez da Q-ren kasua” (edo, laburrago, “ez Q”). Orduan, bai “${\displaystyle P\to Q}$” eta bai “${\displaystyle \neg Q}$” frogapen batean lerro gisa agertzen badira, “${\displaystyle \neg P}$” era baliozkoan jar dezakegu ondorengo lerro batean.

Hona hemen modus tollendo tollens-en adibide bat:

Euririk ari badu, antzokiaren barruan itxarongo dizut.

Ez naiz antzokiaren barruan itxaroten ari.

Beraz, ez du euririk ari.

Modus tollendo tollens estuki lotuta dago modus ponens edo silogismo disjuntiboarekin. Biek argumentuaren antzeko forma dute: atzekariaren baieztapena eta aurrekariaren ukapena.

Notazio formala

Modus tollendo tollens-en erregela hainbat eratara idatz daiteke.

Modus tollendo tollens ondoriozko notazioan

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

${\displaystyle \vdash }$ sinbolo metalogikoa da eta adierazten du ${\displaystyle \neg P}$, ${\displaystyle P\to Q}$-ren eta ${\displaystyle \neg Q}$-ren ondorio sintaktikoa dela sistema logiko batean.

Modus tollendo tollens tautologia egia-funtzionalaren baieztapentzat

Notazio honi logika proposizionalaren teorema ere deitzen zaio eta honela idazten da:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

non ${\displaystyle P}$ eta ${\displaystyle Q}$ sistema formalen batean adierazitako proposamenak diren.

Modus tollendo tollens suposizioak sartuz

Honela idazten da:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$.

Erregela honek ez duenez suposizio multzoa aldatzen, ez da behar-beharrezkoa.

Idazte konplexuagoak

Askotan, berridazketa konplexuagoak daude barruan modus tollendo dutenak, adibidez, multzo-teorian.

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

("P, Q-ren azpimultzoa da, x ez dago Q-n, beraz x ez dago P-n)

Baita lehen ordenako predikatu-logikan ere:

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \exists x:~\neg Q(x)}$

${\displaystyle \therefore \exists x:~\neg P(x)}$

("x guztietarako, x P baldin bada, orduan x Q da. Badago x bat ez dena Q, beraz, baita ere badago x bat ez dena P")

Zentzu zehatzean ez dira tollendo modus-en instantziak. Baina Modus tollendo tollens erabiliz ondorioztatu ahal izango dira neurri gehigarri batzuk erabilita.

Azalpena

Argudioak bi premisa ditu. Lehen premisa baldintzazkoa edo “baldin-orduan” motako adierazpena da. Adibidez, baldin P orduan Q. Bigarren premisa da ez dela Q-ren kasua (“ez Q”). Bi premisa horietatik abiatuta logikoki ondorioztatu daiteke ez dela P-ren kasua (“ez P”).

Adibidez:

P1: Atari-txakurrak sarkin bat antzematen badu, atari-txakurrak zaunka egiten du.

P2: Atari-txakurrak ez zuen zaunka egin.

O: Beraz, atari-txakurrak ez zuen sarkinik antzeman.

Premisak egiazkoak direla suposatuta (txakurrak sarkin bat antzematen badu zaunka egiten du, eta ez du zaunka egin), ondorioztatzen da ez dela sarkinik antzeman. Baliozko argudioa da, ez baita posible ondorioa faltsua izatea premisak egiazkoak badira. (Baliteke txakurrak antzeman ez duen sarkin bat egon izana, baina horrek ez du argudioa baliogabetzen; lehen premisa “txakurrak sarkin bat antzematen badu” da). Gertaera garrantzitsua txakurrak sarkina antzematen duen ala ez da, ez existitzen den ala ez.

Beste adibide bat:

P1: Ni aizkoraren hiltzailea banaiz, orduan aizkora bat erabil dezaket.

P2: Ezin dut aizkora bat erabili.

O: Beraz, ni ez naiz aizkoraren hiltzailea.

Modus ponens-ekiko erlazioa

Modus tollendo tollens-en edozein erabilpen bihur dezakegu modus ponens eta inplikazio materiala den premisaren transposizioaren erabilpen. Adibidez:

Baldin P, orduan Q(premisa - inplikazio materiala)

Baldin ez Q, orduan ez P (deribatua transposizioaren bitartez)

Ez Q. (premisa) Beraz, ez P (deribatua modus ponens-en bidez)

Era berean, modus ponens-en erabilpen bakoitza bihurtu daiteke modus tollendo tollens-en eta transposizioaren erabilpen.

Egia-taula bidezko justifikazioa

Modus tollendo tollens-aren baliozkotasuna argi froga daiteke egia-taula baten bidez.

p	q	p → q
E	E	E
E	F	F
F	E	E
F	F	E

Modus tollendo tollens kasuetan premisa gisa onartzen ditugu p → q egiazkoa dela eta q faltsua dela. Taulako lerro bakarrak (laugarrenak) betetzen ditu egiazko bi baldintza horiek. Lerro horretan, p faltsua da. Beraz, p → q egiazkoa den eta q faltsua den kasu guztietan, p-k ere faltsua izan behar du.

Frogapen formala

Silogismo disjuntibo bidez

Urratsa	Proposizioa	Deribatua
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Premisa
2	${\displaystyle \neg Q}$	Premisa
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Inplikazio materiala (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	Silogismo disjuntiboa (2,3)

Reductio ad absurdum bidez

Urratsa	Proposizioa	Deribatua
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Premisa
2	${\displaystyle \neg Q}$	Premisa
3	${\displaystyle P}$	Onarpena
4	${\displaystyle Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${\displaystyle Q\land \neg Q}$	Konbinazio konjuntiboa (2,4)
6	${\displaystyle \neg P}$	Reductio ad absurdum (3,5)

Ikus, gainera

• Modus ponendo ponens
• Arrazoibide deduktibo

Erreferentziak

1. Stone, Jon R. 1996. Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres: Routledge. 60. or.
2. Ipar Carolinako Unibertsitatea, Filosofia Saila, Logika Glosarioa.
3. Copi eta Cohen
4. Hurley
5. Moore eta Parker
6. Sanford, David Hawley. 2003. If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning. Londres: Routledge. 39. or. "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies."
7. Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", Phronesis 47.
8. "Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ancient Logic: The Stoics"

Bibliografia

• Alfred Tarski 1946 Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences 2. edizioa, reprinted by Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk). (Ingelesez)
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Bigarren edizioa) boltsiko edizioa 1962, Cambridge at the University Press, Londres, Erresuma Batua . No ISBN, no LCCCN. (Ingelesez)
• Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition, Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3. (Ingelesez)

Kanpo estekak

Modus Tollens, Wolfram MathWorld-en (Ingelesez) http://mathworld.wolfram.com/ModusTollens.html