Oinarrizko talde

Topologia aljebraikoaren eremu matematikoan, espazio topologiko baten oinarrizko taldea espazioan dauden begizten homotopia bidezko baliokidetasun-klaseen taldea da. Espazio topologikoaren oinarrizko formari, edo zuloei, buruzko informazioa jasotzen du. Oinarrizko taldea lehenengo homotopia-taldea da, sinpleena. Oinarrizko taldea homotopia-inbariante bat da: homotopiari dagokionez baliokide diren espazio topologikoek oinarrizko talde isomorfikoak dituzte. ${\displaystyle X}$ espazio topologiko baten oinarrizko taldea ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ notazioaz adierazten da.

Intuizioa

Izan bitez espazio bat (gainazal bat, adibidez), espazioko edozein puntu bat eta puntu horretan hasi eta amaitzen diren begizta (bide) guztiak. Bi begizta konbina daitezke horrela: lehenengo begizta zeharkatu eta amaitzean bigarrena zeharkatu. Bi begizta baliokideak direla esaten da, horietako bat deformatzean bestea lor badaiteke, hautsi gabe. Espazio baten oinarrizko taldea, begiztak konbinatzeko metodo horren bidez eta begizten arteko baliokidetasunaren definizio horretan oinarrituz osatzen diren begizta guztien multzoa da.

Historia

Henri Poincarék 1895ean definitu zuen oinarrizko taldea "Analysis Situs" artikuluan.^[1][2] Kontzeptua Riemann-en gainazalen teorian sortu zen, Bernhard Riemannen, Poincaré-ren eta Felix Kleinen obran. Zenbaki konplexuetako funtzioen monodromia-propietateak deskribatzen ditu, eta gainazal itxien sailkapen topologiko oso bat ematen du.

Definizioa

X espazio topologiko baten adibide bat

Artikulu honetan zehar, X espazio topologiko bat da. Adibide tipiko bat eskuineko irudikoa bezalako gainazala da. Gainera, X-ko ${\displaystyle x_{0}}$ puntua oinarri-puntua dela esaten da. Talde-homotopiaren definizioak zera adierazten du: X-ko zenbat kurba deforma daitezkeen batetik bestea lortzeko. Definizio zehatza begizten homotopiaren nozioaren araberakoa da.

Begizten homotopia

X espazio topologikoa izanik, oinarri-puntua ${\displaystyle x_{0}}$ duen begizta honako funtzio jarraitua da:

${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

non ${\displaystyle \gamma (0)}$ iturburu-puntua (begiztaren hasierakoa) eta ${\displaystyle \gamma (1)}$ helburu-puntua (amaierakoa) ${\displaystyle x_{0}}$ puntuaren berdinak diren.

Begizten homotopia

Homotopia bi begizten arteko interpolazio jarraitua da. Zehatzago esanda, ${\displaystyle x_{0}}$ oinarri-puntu bereko ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$ bi begizten arteko homotopia, horrelako aplikazio jarraitu bat da:

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

non,

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$ den ${\displaystyle t\in [0,1]}$ guztietarako, hau da, homotopiaren abiapuntua ${\displaystyle x_{0}}$ da t guztietarako (denbora-parametro moduan hartu ohi da t).
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$ den ${\displaystyle t\in [0,1]}$ guztietarako, hau da, homotopiaren helburu-puntua ${\displaystyle x_{0}}$ da t guztietarako.
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)}$ den, ${\displaystyle r\in [0,1]}$ guztietarako.

Halako h homotopia bat existitzen bada, ${\displaystyle \gamma }$ eta ${\displaystyle \gamma '}$ homotopikoak direla esaten da. " ${\displaystyle \gamma }$ eta ${\displaystyle \gamma '}$ homotopikoak dira " erlazioa baliokidetasun-erlazioa da. Ondorioz, honako zatidura-multzoa (baliokidetasun-klaseen multzoa) har daiteke:

.${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{x_{0}{\text{ puntuan oinarritutako }}\gamma {\text{ begizta guztiak }}\}/{\text{homotopia}}}$

Zatidura-multzo horri (ondoren deskribatzen den talde-egiturarekin batera) X espazio topologikoaren oinarrizko taldea deitzen zaio ${\displaystyle x_{0}}$ oinarri-puntuan. Begizten baliokidetasun-klaseak homotopiarekiko hartzen dira, zatidura-multzo hori erabilgarriagoa eta konputagarriagoa gertatzen delako askotan. Bestela, begizta guztiek osatutako multzoa hartzen da zatidura-multzoan (X-ren begizta-espazioa esaten dena), zenbait helburutarako erabilgarria dena.

Talde-egitura

Begizten batura

Aurreko definizioaren arabera, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzo bat besterik ez da. Talde bihurtzen da begiztak kateatzearen ondorioz. Hortik datorkio oinarrizko talde izena. Zehatzago esateko, bi begizta ${\displaystyle \gamma _{0}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{1}}$ izanik, haien arteko biderketa horrela definitutako begizta da:

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

Hala, ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$ begiztan aurrena ${\displaystyle \gamma _{0}}$ begizta zeharkatzen da "abiadura bikoitzarekin", eta gero ${\displaystyle \gamma _{1}}$ "abiadura bikoitzarekin".

Ondorioz, begizten ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$ eta ${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ bi homotopia-klaseen biderketa definitzen da, ${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$. Froga daiteke, biderketa hori ez dagoela ordezkarien aukeraketaren mende eta, beraz, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzoan ondo definitutako eragiketa dela. Eragiketa horrek ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzoa talde bihurtzen du. Haren elementu neutroa begizta konstantea da, ${\displaystyle x_{0}}$ puntuan dagoena t parametroaren balio guztietarako (une oro). Begizta baten homotopia baliokodetasun-klase baten alderantzizkoa begizta bera da, baina kontrako noranzkoan zeharkatzen dena. Formalki,

.${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$

Hiru begizta ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ izanik, honako biderketa

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

hiru begizten kateatzea (uztartzea) da, hasteko ${\displaystyle \gamma _{0}}$ zeharkatuz, ondoren ${\displaystyle \gamma _{1}}$ abiadura laukoitzean eta gero ${\displaystyle \gamma _{2}}$ abiadura bikoitzean. Modu berean, hiru begizten biderketa moduan sortutako beste begizta honetan,

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

bide bera zeharkatzen du (ordena berean), baina ${\displaystyle \gamma _{0}}$ abiadura bikoitzean eta ${\displaystyle \gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ abiadura laukoitzean. Ondorioz, abiadurak desberdinak direnez, bi bideak ez dira berdinak. Elkartze-propietatearen axioma

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

beraz, zatidura-multzoa homotopiarekiko kontsideratu izanaren mendekoa da. Izan ere, aurreko bi kateatzeak ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ begiztak abiadura hirukoitzarekin zeharkatzen dituen begiztarekin homotopikoak dira. Hortaz, homotopiarekiko baliokide diren oinarrizko begiztak, aurreko eragiketarekin hornituak, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzoa talde bihurtzen dute.

Oinarri-puntuaren mendekotasuna

Oinarrizko taldea, oro har, hautatzen den oinarri-puntuaren mendekoa den arren, X espazioa bideen bidez konexua bada (path-connected), isomorfismoari (barne-isomorfismoari) dagokionez oinarri-puntuaren aukeraketak ez du alderik eragingo. Hori dela eta, bideen bidez konexu diren X espazioak adierazteko, autore askok ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ notazioa erabiltzen dute ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ erabili ordez.

Adibideak

Atal honetan, oinarrizko taldeen zenbait adibide aipatzen dira. Hasteko, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ espazio euklidestarrean edo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$espazioaren edozein azpimultzo ganbiletan, begizten klase homotopiko bakarra dago, eta, beraz, oinarrizko taldea elementu bakarra duen talde nabaria da. Oro har, izar-eremu guztiek eta uzkurgarri diren eremu guztiek oinarrizko talde nabaria dute. Hala, oinarrizko taldeak ez ditu bereizten espazio horiek.

• Adibideak
• 
  Izar-eremu bat konexua da, edozein begizta eremuaren ${\displaystyle x_{0}}$ erdigunera uzkurtu baitaiteke.
• 
  Begizta bat 2-esfera batean (pilota baten gainazalean), puntu batera uzkurtzen
• 
  Zirkuluaren homotopia taldearen elementuak
• 
  Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea a eta b bi letra sortzaileeen talde librea da.
• 
  Hiruorriko korapilo bat.

2-esfera

Bideen bidez konexua (path-connected) den espazio baten oinarrizko taldea nabaria bada, guztiz konexua deritzo (ingelesez, simply connected). Adibidez, irudiko ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ 2-esfera, eta baita dimentsio handiagoko esfera guztiak ere, guztiz konexuak dira. Irudiak homotopia bat erakusten du, begizta bat begizta konstantera uzkurtuz. Ideia hori ${\displaystyle \gamma }$ begiztaren irudian ez dauden ${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$ puntuak dituzten ${\displaystyle \gamma }$ begizta guztietara egokitu daiteke. Hala ere, begizta batzuetan ${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$ betetzen denez, (Peano-ren kurbaren bidez eraikitzen direnetan, adibidez), froga egiteko topologia aljebraikoko tresnak erabili behar dira, Seifert-van Kampen teorema edo cellular approximation teorema.

Zirkulua

Zirkulua edo 1-esfera, ${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, ez da guztiz konexua. Homotopia-klase bakoitzean, zirkuluaren inguruan hainbait aldiz biratuz lortzen diren begizta guztiak daude (positiboak edo negatiboak izan daitezke, biraketaren noranzkoaren arabera). m bira eman dituen begizta baten eta n bira eman dituen beste baten biderketaren emaitza m + n bira eman dituen begizta bat da. Beraz, zirkuluaren oinarrizko taldea zenbaki osoen multzoak eta batuketa eragiketak ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ osatzen duten taldearekin isomorfoa da. Hori erabil daiteke Brouwer-en puntu finkoaren^[3] teoremaren eta Borsuk-Ulam-en teoremaren frogak 2 dimentsiotan egiteko.^[4]

Zortziko-irudia

Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea bi letren talde librea da. Hori horrela frogatzen da: bi zirkuluen ebaki-puntua (irudian puntu beltz baten bidez adierazten dena) oinarri-puntu moduan aukeratuz, ${\displaystyle \gamma }$ begizta oro horrela deskonposa daiteke:

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

non a eta b bira ematen duten bi begiztak diren (irudiko begizta gorria eta urdina) eta ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$ zenbaki osoak berretzaileak diren. ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ ez bezala, zortziko-irudiaren oinarrizko taldea ez da talde abeldarra: a eta b konposatzeko bi moduak ez dira elkarren artean homotopikoak:

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

Oro har, r zirkulu-sortaren oinarrizko taldea r letretako talde librea da.

Bideen bidez konexuak (path-connected) diren X eta Y espazioen puntu bateko baturaren (wedge sum) oinarrizko taldea, haien oinarrizko taldeen biderkadura libre moduan kalkula daiteke:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

Horrek aurrekoak orokortzen ditu, zortziko-irudia bi zirkuluren puntu bateko batura baita.

n puntutan zulatutako planoaren oinarrizko taldea n sortzaile dituen talde librea da. i. sortzailea i. zulotik doan begiztaren klasea da, beste zulo batetik pasa gabe.

Grafoak

Oinarrizko taldea egitura diskretuetarako ere defini daiteke. Izan bitez G = (V, E) grafo konexua eta V erpinen multzoko v₀ erpina. G grafoan begiztak v₀ erpinean hasten eta amaitzen diren zikloak dira. Izan bedi G grafoaren T hedapen-zuhaitz bat. G-ko begizta sinple guztiek ertz bat dute E \ T-n; G-ko begiztak begizta sinpleen kateatzeak dira. Beraz, grafo baten oinarrizko taldea talde libre bat da, eta duen sortzaile kopurua E \ T-n dagoen ertz kopurua da, hau da, |E| − |V| + 1 ertz.^[5]

Demagun, adibidez, G-k 16 erpin dituela, 4 erpineko 4 errenkadetan antolatuta, eta horizontalki edo bertikalki alboko diren erpinak ertzen bidez konektatuta daudela. Hortaz, G-k 24 ertz ditu guztira, eta hedapen-zuhaitz bakoitzean duen ertz-kopurua 16 − 1 = 15 da; beraz, G-ren oinarrizko taldea 9 sortzaileko talde librea da.^[6] Kontuan izan behar da, G grafoak 9 "zulo" dituela, oinarrizko talde bera duen 9 zirkuluko sorta batek bezala.

Korapilo-taldeak

Definizioz, korapilo-taldeak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ espazioan txertatutako K korapilo baten osagarriaren oinarrizko taldea dira. Adibidez, hiruorriko korapiloaren korapilo-taldea ${\displaystyle B_{3}}$ adaxka-taldea da, oinarrizko talde ez-abeldarra.

Ikus, gainera

• Topologia

Erreferentziak

1. Poincaré, Henri. (2010). Papers on topology : analysis situs and its five supplements. American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-5234-7. PMC 610018837. (Noiz kontsultatua: 2022-12-27).
2. (Ingelesez) Poincaré, Henri. (2009). Papers on Topology. Analysis Situs and Its Five Supplement. Translated by John Stillwell (PDF), 281 or..
3. May, J. Peter. (1999). A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press ISBN 0-226-51182-0. PMC 41266205. (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).
4. Massey, William S.. (1991). A basic course in algebraic topology. Springer-Verlag ISBN 0-387-97430-X. PMC 22308878. (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).
5. Simon, J.. (2008). «Example of calculating the fundamental group of a graph G» web.archive.org (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).
6. «The Fundamental Groups of Connected Graphs» mathonline.wikidot.com (Mathonline) (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).

Bibliografia

• Adams, John Frank. (1978). Infinite loop spaces. in: Annals of Mathematics Studies. 90 Princeton University Press ISBN 978-0-691-08207-3..
• Brown, Ronald. (2006). Topology and Groupoids. Booksurge ISBN 1-4196-2722-8..
• Bump, Daniel. (2013). Lie Groups. in: Graduate Texts in Mathematics. 225 (2nd. argitaraldia) Springer  doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8023-5..
• Crowell, Richard H.; Fox, Ralph. (1963). Introduction to Knot Theory. Springer.
• El Zein, Fouad; Suciu, Alexander I.; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey. (2010). Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007. ISBN 978-3-0346-0208-2..
• Forster, Otto. (1981). Lectures on Riemann Surfaces. ISBN 0-387-90617-7..
• Fulton, William. (1995). Algebraic Topology: A First Course. Springer ISBN 9780387943275..
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F.. (1999). Simplicial Homotopy Theory. in: Progress in Mathematics. 174 Birkhäuser ISBN 978-3-7643-6064-1..
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle. (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3). Société Mathématique de France, xviii+327, see Exp. V, IX, X or. ISBN 978-2-85629-141-2..
• Hall, Brian C.. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. in: Graduate Texts in Mathematics. 222 (2nd. argitaraldia) Springer ISBN 978-3319134666..
• Hatcher, Allen. (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press ISBN 0-521-79540-0..
• Peter Hilton eta Shaun Wylie, Teoría de la Homología, Cambridge University Press (1967) [oharra: autore horiek kontrahomologia erabiltzen dute kohomologiarako]
• Humphreys, James E.. (2004). Linear Algebraic Groups. in: Graduate Texts in Mathematics. Springer ISBN 9780387901084..
• Humphreys, James E.. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. ISBN 0-387-90052-7..
• Maunder, C. R. F.. (January 1996). Algebraic Topology. Dover Publications ISBN 0-486-69131-4..
• Massey, William S.. (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. Springer ISBN 038797430X..
• May, J. Peter. (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. ISBN 9780226511832..
• Deane Montgomery eta Leo Zippin, Transformazio Topologikoko Taldeak, Editore Interzientifikoak (1955)
• Munkres, James R.. (2000). Topology. Prentice Hall ISBN 0-13-181629-2..
• Rotman, Joseph. (1998-07-22). An Introduction to Algebraic Topology. Springer Science+Business Media|Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1..
• Rubei, Elena. (2014). Algebraic Geometry, a concise dictionary. Walter De Gruyter ISBN 978-3-11-031622-3..
• Seifert, Herbert; Threlfall, William. (1980). A Textbook of Topology. Academic Press ISBN 0-12-634850-2..
• Singer, Isadore. M.; Thorpe, J. A.. (1976-12-10). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. ISBN 0-387-90202-3..
• Spanier, Edwin H.. (1989). Algebraic Topology. Springer ISBN 0-387-94426-5..
• Strom, Jeffrey. (2011). Modern Classical Homotopy Theory. AMS ISBN 9780821852866..

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Fundamental group MathWorld
• (Ingelesez) Intro to the Fundamental Group // Algebraic Topology with @TomRocksMaths Youtube
• (Gaztelaniaz) Introducción a la Topología Algebraica Youtube
• (Ingelesez) Oinarrizko taldea ulertzeko animazioak Nicolas Delanoue, web.archive.org
• (Ingelesez) Groupoids in Mathematics Ronald Brown, groupoids.org.uk
• (Gaztelaniaz) Grupos de homotopía Irene Llerena, topologiaparausuarios.es